Minimum saillant

Un minimum saillant (sharp minimum en anglais) d'un fonction convexe $f$ définie sur un espace normé $\mathbb {E}$ à valeurs dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ est un point ${\bar {x}}\in \mathbb {E}$ tel que

\exists \,\alpha >0,\quad \forall \,x\in \mathbb {E} :\qquad f(x)\geqslant f({\bar {x}})+\alpha \|x-{\bar {x}}\|.

On appellera $\alpha$ la saille^[1] de $f$ . Un minimum saillant est bien sûr l'unique minimiseur de $f$ sur $\mathbb {E}$ et on peut utiliser ce concept pour caractériser l'unicité du minimiseur d'une fonction convexe polyédrique^[2]. Lorsqu'on s'éloigne d'un minimum saillant, $f$ croît avec une pente strictement positive (voir ci-dessous pour d'autres caractérisations de ce concept), si bien que cette notion est propre aux fonctions convexes non lisses.

Ce concept a été introduit par B.T. Polyak (1979^[3]) et a été étendu pour décrire un ensemble saillant de minimiseurs (qui n'est donc plus un singleton) par Burke et Ferris (1993).

Caractérisation modifier

La caractérisation suivante est reprise de Polyak (1987).

Caractérisation d'un minimum saillant — Soient $\mathbb {E}$ un espace euclidien, $f:\mathbb {E} \to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ une fonction convexe propre, $B$ la boule unité fermée de $\mathbb {E}$ , ${\bar {x}}\in \mathbb {E}$ , $\partial f({\bar {x}})$ le sous-différentiel de $f$ en ${\bar {x}}$ et $\alpha >0$ . Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

${\bar {x}}$ est un minimum saillant de $f$ , de saille $\alpha$ ,
$\forall \,d\in \mathbb {E}$ : $f'({\bar {x}};d)\geqslant \alpha \|d\|$ ,
$\alpha B\subset \partial f({\bar {x}})$ .

Annexes modifier

Notes modifier

↑ Néologisme.
↑ Voir par exemple la caractérisation de l'unicité du minimum d'une fonction polyédrique, qui s'avère utile pour caractériser l'unicité de la solution du problème de poursuite de base.
↑ Voir Polyak (1979) et Polyak (1987).

Article connexe modifier

Fonction convexe polyédrique

Bibliographie modifier

(en) J.V. Burke, M.C. Ferris (1993). Weak sharp minima in mathematical programming. SIAM Journal on Control and Optimization, 31, 1340–1359. DOI
(en) B.T. Polyak (1979). Sharp minima. Presented at the IIASA Workshop on Generalized Lagrangians and Their Applications, IIASA, Laxenburg, Austria, 1979.
(en) B.T. Polyak (1987). Introduction to Optimization. Optimization Software, New York.

Portail des mathématiques

[1] Néologisme.

[2] Voir par exemple la caractérisation de l'unicité du minimum d'une fonction polyédrique, qui s'avère utile pour caractériser l'unicité de la solution du problème de poursuite de base.

[3] Voir Polyak (1979) et Polyak (1987).

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