La mesure de Brown est un terme de l'analyse fonctionnelle qui généralise la mesure spectrale pour les opérateurs dans l'algèbre de von Neumann de type II. Le terme a été introduit 1983 par Lawrence G. Brown[1]. La mesure de Brown est utilisée entre autres dans la théorie des matrices aléatoires.

Mesure de Brown

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Soit   une algèbre de von Neumann avec un état   tracial, normale et fidèle. Pour  , soit   la mesure spectrale de   par rapport à  .

Le déterminant opérateur suivant est appelé déterminant de Fuglede-Kadison (en)

 

Brown a prouvé qu'il existe une mesure de probabilité unique   avec support compact sur   et   a la propriété

 

Cette mesure   est appelée la mesure de Brown[2].

Bibliographie

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  • (en) Uffe Haagerup et Flemming Larsen, « Brown’s spectral distribution measure for R-diagonal elements in finite von Neumann algebras », Journal of Functional Analysis, vol. 176, no 2,‎ (lire en ligne)
  • (en) Uffe Haagerup et Hanne Schultz, « Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra », Mathematica Scandinavica, vol. 100, no 2,‎ (DOI 10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arXiv math/0605251)
  • (en) James A. Mingo et Roland Speicher, Free probability and random matrices, vol. Vol. 35, Springer Verlag, coll. « Fields Institute Monographs »,

Références

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  1. (en) L. G. Brown, « Lidskii’s Theorem in the Type II Case », Geometric methods in operator algebras in Pitman Res. notes in Math., Kyoto,‎
  2. (en) Uffe Haagerup et Hanne Schultz, « Brown Measures of Unbounded Operators Affiliated with a Finite von Neumann Algebra », Mathematica Scandinavica, vol. 100, no 2,‎ , p. 1 (DOI 10.48550/ARXIV.MATH/0605251, arXiv math/0605251)