Méthode du point médian

En analyse numérique, la méthode du point médian est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale

Le principe est d'approcher l'intégrale de la fonction par l'aire d'un rectangle de base de segment et de hauteur , ce qui donne :

Cette aire est aussi celle du trapèze de base et dont le côté opposé est tangent au graphe de en , ce qui explique sa relative bonne précision.

Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment , l'erreur commise est de la forme

pour un certain .

Démonstration

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Soit   une primitive de   sur l'intervalle  , on peut appliquer le théorème de Taylor-Lagrange à la fonction   à l'ordre 2 entre les points   et  . Pour tout   il existe   tel que

 

en particulier en prenant   puis  , il existe   tel que

 

et

 

En soustrayant les deux égalités on obtient :

 

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors l’existence d'un réel   telle que  .

Sur une subdivision de l'intervalle

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En découpant l'intervalle   en   segments   de même longueur   et en appliquant la formule précédente sur chacun des petits segments    pour   on obtient

  avec  

En sommant sur   on obtient

 

Remarques

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L'erreur est deux fois plus petite que celle donnée par la méthode des trapèzes.

Cette méthode est un cas des formules de Newton-Cotes, où le polynôme d'interpolation est de degré  . Elle est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à  .