Méthode de Darwin-Fowler

En mécanique statistique, la méthode de Darwin-Fowler est utilisée pour obtenir les fonctions de distribution avec une probabilité moyenne. Il a été développé par Charles Galton Darwin et Ralph H. Fowler en 1922-1923[1],[2].

Les fonctions de distribution sont utilisées en physique statistique pour estimer le nombre moyen de particules occupant un niveau d'énergie (également appelés nombres d'occupation). Ces distributions sont principalement obtenues pour un système considéré dans un état de probabilité maximale dont les nombres d'occupation moyens sont connus. Ces occupations moyennes peuvent être obtenues par la méthode de Darwin-Fowler. Pour des systèmes à la limite thermodynamique (grand nombre de particules), comme en mécanique statistique, les résultats sont identiques à ceux obtenus par une méthode de maximisation.

Méthode de Darwin-Fowler

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Dans la plupart des ouvrages de mécanique statistique, les fonctions de distribution statistique   dans les statistiques de Maxwell-Boltzmann, les statistiques de Bose-Einstein, les statistiques de Fermi-Dirac, sont obtenues en déterminant celles pour lesquelles le système est dans un état de probabilité maximale. Mais il est parfois préférable d'obtenir celles qui ont simplement une probabilité moyenne de se réaliser, bien que les résultats soient généralement identiques pour des systèmes qui disposent d'un grand nombre d'éléments, comme c'est le cas en mécanique statistique. La méthode pour obtenir les fonctions de distribution avec probabilité moyenne a été développée par CG Darwin et Fowler[2] et est donc connue sous le nom de méthode de Darwin-Fowler. C'est la procédure générale la plus fiable pour obtenir des fonctions de distribution statistiques. Étant donné que la méthode utilise une variable de sélection (un facteur introduit pour chaque élément permettant une procédure de dénombrement), la méthode est également connue sous le nom de méthode de Darwin-Fowler des variables de sélection. On rappellera qu'une fonction de distribution de probabilité n'est pas la même chose que la probabilité elle-même- cf. Distribution de Maxwell–Boltzmann, Distribution de Bose–Einstein, Distribution de Fermi–Dirac. On notera également que la fonction de distribution   qui est une mesure de la fraction d'états qui sont effectivement occupés, est donnée par   ou  , où   est la dégénérescence du niveau d'énergie   d'énergie   et   est le nombre d'états occupant ce niveau (par exemple dans les statistiques de Fermi-Dirac 0 ou 1). L'énergie totale est   et le nombre total d'éléments   sont donnés par   et   .

La méthode de Darwin–Fowler est présentée dans les textes de E. Schrödinger[3], Fowler[4] et Fowler et EA Guggenheim[5], de K. Huang[6], et de HJW Müller–Kirsten[7]. La méthode est également discutée et utilisée pour la dérivation de la condensation de Bose-Einstein dans le livre de RB Dingle[8].

Statistiques classiques

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Pour   éléments indépendants avec   au niveau de l'énergie   et   pour un système canonique dans un bain de chaleur avec température   nous fixons

 

La moyenne sur toutes les combinaisons est le nombre moyen d'occupations

 

Insérons une variable de sélection   en réglant

 

Dans les statistiques classiques, les   éléments sont (a) distinguables et peuvent être arrangés par paquets de   éléments au niveau   dont le numéro est

 

de sorte que dans ce cas

 

En tenant compte de (b) la dégénérescence   de niveau  , cette expression devient

 

La variable de sélection   permet de choisir le coefficient de   lequel est   . Ainsi

 

et donc

 

Ce résultat concorde avec la valeur la plus probable obtenue par maximisation et ne comporte aucune approximation et s'avère donc exact. Il démontre ainsi la puissance de cette méthode de Darwin-Fowler.

Statistiques quantiques

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Nous avons comme ci-dessus

 

  est le nombre d'éléments dans le niveau d'énergie   . Étant donné que dans les statistiques quantiques, les éléments sont indiscernables, aucun calcul préliminaire du nombre de façons de diviser les éléments en paquets   est requis. Donc la somme   se réfère uniquement à la somme des valeurs possibles de   .

Dans le cas des statistiques de Fermi-Dirac, nous avons

  ou  

par état. Il y a   états pour le niveau d'énergie   . Par conséquent nous avons

 

Dans le cas des statistiques de Bose-Einstein, nous avons

 

Par la même procédure que précédemment on obtient

 

Mais

 

Donc

 

Résumant les deux cas et rappelant la définition de  , on a que   est le coefficient de   dans

 

où les signes + s'appliquent aux statistiques de Fermi-Dirac et les signes - aux statistiques de Bose-Einstein.

Ensuite, nous devons évaluer le coefficient de   dans   Dans le cas d'une fonction   qui peut être étendu comme

 

le coefficient de   est obtenu à l'aide du théorème des résidus de Cauchy ,

 

On note que le coefficient   dans ce qui précède peut être obtenu comme

 

 

En différenciant on obtient

 

et

 

On évalue maintenant les dérivées première et seconde de   au point fixe   auquel   . Cette méthode d'évaluation de   autour du point de selle   est connue comme la méthode de descente la plus raide. On obtient alors

 

Nous avons   et donc

 

(le +1 étant négligeable puisque   est large). Nous verrons dans un instant que cette dernière relation est simplement la formule

 

On obtient le nombre moyen d'occupation   en calculant

 

Cette expression donne le nombre moyen de   éléments dans le volume   qui occupent à température   le niveau à une particule   avec dégénérescence   (voir par exemple probabilité a priori ). Pour que la relation soit fiable, il faut vérifier que les contributions d'ordre supérieur diminuent initialement en amplitude de sorte que l'expansion autour du point de selle donne effectivement une expansion asymptotique.

Notes et références

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  1. (en) « Darwin–Fowler method », Encyclopedia of Mathematics (consulté le )
  2. a et b Darwin et Fowler, « On the partition of energy », Phil. Mag., vol. 44,‎ , p. 450–479, 823–842 (DOI 10.1080/14786440908565189)
  3. E. Schrödinger, Statistical Thermodynamics, Cambridge University Press,
  4. R. H. Fowler, Statistical Mechanics, Cambridge University Press,
  5. R. H. Fowler et E. Guggenheim, Statistical Thermodynamics, Cambridge University Press,
  6. K. Huang, Statistical Mechanics, Wiley,
  7. H. J. W. Müller–Kirsten, Basics of Statistical Physics, World Scientific, (ISBN 978-981-4449-53-3)
  8. R. B. Dingle, Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation, Academic Press, , 267–271 p. (ISBN 0-12-216550-0)

Bibliographie

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  • (en) Jagdish Mehra et Helmut Rechenberg, The Historical Development of Quantum Theory, Springer Science & Business Media, (ISBN 9780387951805, lire en ligne)