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PrincipeModifier

On considère une lentille mince convergente de focale f', de centre O, de foyers image F' et objet F.

Soient D, la distance entre l'objet A (sur l'axe optique) et l'écran (où l'on visualise l'image A'), et d, la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A', (c’est-à-dire la netteté de l'image sur l'écran). On peut déduire la valeur de la focale f' par la formule :

 

 
Schéma animé sur la méthode de Bessel

ExplicationModifier

Formules de conjugaisonModifier

Les formules de conjugaison de Descartes donnent une relation entre les positions sur l'axe optique d'un objet A et de son image A' par rapport au centre optique O. Elles sont exprimées avec des distances algébriques.

Soit A un point de l'axe optique et A' son image par la lentille :

 

On souhaite que A' soit réelle (c’est-à-dire projetable sur un écran) :  .

Il faut pour cela que A soit placé sur l'axe optique à une distance  .

Formation d'une image réelle à partir d'un objet réelModifier

On fixe  , la distance entre l'objet (A) et l'écran (A') et on pose   et  , donc

 .

Les relations de conjugaison se réécrivent :

 .

La combinaison des deux précédentes équations donne bien une équation du second ordre en x :

 

Cette équation n'a de solution réelle que si  

Aussi, il faut que  

Positions respectives de l'image et de l'objetModifier

Si  , alors   : il y a deux solutions réelles (il existe alors deux positions de la lentille qui permettent de conjuguer A et A').

Les solutions sont :

 

Aussi, ces deux positions possibles de la lentille sont éloignées de  

Cette distance est aussi la distance entre les deux positions de la lentille qui assurent la conjugaison de A et A' :  

En élevant au carré, on trouve la formule :  

RemarqueModifier

La méthode de Silbermann apparaît comme un cas particulier de la méthode de Bessel, celui où la position de la lentille est unique (soit d=0).

Voir aussiModifier