Loi de Benktander

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Benktander est une loi de probabilité continue connue sous deux types différents : la loi de Benktander de type I (ou loi de Benktander-Gibrat) et la loi de Benktander de type II (ou loi de Benktander Weibull). Ces lois sont initialement apparues dans un article de 1960 écrit par Benktander et Segerdahl. Elles sont principalement utilisées en économie.

Loi de Benktander
Densité de probabilité Type I, Type II
Fonction de répartition Type I, Type II
Paramètres	$a>0\,$ ${\begin{cases}0\leq b&{\text{type I}}\\0<b\leq 1&{\text{type II}}\end{cases}}$
Support	$x\in [1;+\infty [\,$
Densité de probabilité	voir l'article
Fonction de répartition	voir l'article
Espérance	$1+{\frac {1}{a}}$
Médiane	voir l'article
Variance	voir l'article

Au même titre que la distribution de Pareto est une généralisation de la loi exponentielle, les deux lois de Benktander sont également des généralisations de cette loi exponentielle.

Si $X_{I}$ suit une loi de Benktander de type I, on notera $X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)$. De même pour le type II : $X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)$

Motivations

La distribution de Pareto est une loi exponentielle de paramètre ${\textstyle \ln(x/x_{m})}$ où $x_{m}$ est un paramètre de position. Ainsi apparait un paramètre d'échelle exponentiel : ${\textstyle e(x):={\frac {x}{x_{m}}}}$. Afin de mieux correspondre aux valeurs empiriques économiques, deux autres paramètres d'échelle exponentiels sont définis par :

${\begin{cases}e_{I}(x)={\frac {x}{a+2b\ln(x)}}&{\text{ pour }}a>0{\text{ et }}0\leq b\\e_{II}(x)={\frac {x^{1-b}}{a}}&{\text{ pour }}a>0{\text{ et }}0<b\leq 1\end{cases}}$

Ces deux nouveaux paramètres permettent de définir les deux types de la loi de Benktander.

Définitions

Les deux changements d'échelle précédents permettent de définir les deux fonctions de répartition des lois de Benktander de type I et de type II :

Pour le type I :

$F_{I}(x)={\begin{cases}1-x^{-1-a-b\ln(x)}\left(1+{\tfrac {2b\ln(x)}{a}}\right)&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Pour le type II :

$F_{II}(x)={\begin{cases}1-\exp \left({\frac {a(1-x^{b})}{b}}\right)x^{b-1}&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Par dérivation, on obtient les deux densités de probabilité :

Pour le type I :

$f_{I}(x)={\begin{cases}x^{-2-a-b{\mathrm {Log} [x]}}\left(-{\tfrac {2b}{a}}+\left(1+a+2b\ln(x)\right)\left(1+{\tfrac {2b\ln(x)}{a}}\right)\right)&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Pour le type II :

$f_{II}(x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {a(1-x^{b})}{b}}\right)x^{-2+b}(1-b+ax^{b})&{\text{ pour }}x\geq 1\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}$

Propriétés

Les moyennes des deux types sont égales à ${\textstyle \mathbb {E} [X]=1+{\frac {1}{a}}}$. Les variances sont données par :

$\mathrm {Var} (X_{I})={\frac {-{\sqrt {b}}+a\mathrm {e} ^{\tfrac {(-1+a)^{2}}{4b}}{\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\tfrac {-1+a}{2{\sqrt {b}}}}\right)}{a^{2}{\sqrt {b}}}}$

et

$\mathrm {Var} (X_{II})={\frac {-1}{a^{2}}}+{\frac {2\mathrm {e} ^{\tfrac {a}{b}}{\rm {E}}(1-{\tfrac {1}{b}},{\tfrac {a}{b}})}{ab}}$

où $X_{I}\sim \mathrm {BenktanderI} (a,b)$, $X_{II}\sim \mathrm {BenktanderII} (a,b)$, erfc est la fonction d'erreur et ${\textstyle {\rm {E}}(n,x)}$ est l'exponentielle intégrale généralisée.

Liens avec d'autres lois

• $\lim _{b\rightarrow 0}\mathrm {BenktanderI} (a,b)\sim Pareto(1,1+a)$

Références

• (en) G. Benktander et C.O. Segerdahl, « On the analytical representation of claim distributions with special reference to excess-of-loss reinsurance », Trans. 16-th Intern. Congress Actuaries,‎ 1960, p. 626-646.