Liste des groupes de symétrie du plan
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Cet article recense les groupes de symétrie du plan euclidien.
Généralités modifier
Les classes considérées sont celles des groupes de symétrie discrets sur le plan euclidien. Il en existe trois sortes :
- 2 familles de groupes ponctuels de symétrie ;
- 7 groupes de frise ;
- 17 groupes de papier peint.
Ces groupes sont nommés suivant trois nomenclatures : la notation internationale, la notation orbifold et la notation de Coxeter (en).
Liste modifier
Groupes ponctuels modifier
Il existe deux familles de groupes ponctuels discrets bidimensionnels et elles sont spécifiées par le paramètre n, qui est l'ordre du groupe de rotations dans le groupe.
| Famille | Intl. (Orbifold) |
Geo [[1]] Coxeter |
Schönflies | Ordre | Exemples | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Groupes cycliques | n n• |
n [n]+   
|
Cn | n |  [ ]+ |
 [2]+ (*) |
 [3]+ |
 [4]+ |
 [5]+ |
[6]+ |
| Groupes diédraux | nm *n• |
n [n]
|
Dn | 2n |  [ ] |
.png) [2] |
 [3] |
 [4] |
 [5] |
 [6] |
Groupes de frise modifier
| UIC (Orbifold) |
Geo | Schönflies | Coxeter | Domaine fondamental |
Exemple |
|---|---|---|---|---|---|
| p1 (∞•) |
p1 | C∞ | [∞]+ 
|
|
|
| p1m1 (*∞•) |
p1 | C∞v | [∞]
|
|
|
| p11g (∞×) |
p.g1 | S2∞ | [2+,∞+] 
|
|
|
| p11m (∞*) |
p. 1 | C∞h | [2,∞+] 
|
|
|
| p2 (22∞) |
p2 | D∞ | [2,∞]+  
|
|
|
| p2mg (2*∞) |
p2g | D∞d | [2+,∞]
|
|
|
| p2mm (*22∞) |
p2 | D∞h | [2,∞]
|
|
|
Groupes de papier-peint modifier
| UIC (Orbifold) Géometrique |
Coxeter | Réseau | Groupe ponctuel |
Domaine fondamental |
Exemple |
|---|---|---|---|---|---|
| p1 (°) p1 |
[∞+,2,∞+] | Oblique | C1 | 
|
|
| p2 (2222) p2 |
[∞,2,∞]+ | Oblique | C2 | 
|
|
| pm (**) p1 |
[∞+,2,∞]
|
Rectangulaire | D1 | 
|
|
| pg (××) pg1 |
[∞+,(2,∞)+]  
|
Rectangulaire | D1 | 
|
|
| cm (*×) c1 |
[∞+,2+,∞]
|
Losange | D1 | 
|
|
| pmm (*2222) p2 |
[∞,2,∞]
|
Rectangulaire | D2 | 
|
|
| pmg (22*) pg2 |
[(∞,2)+,∞]
|
Rectangulaire | D2 | 
|
|
| pgg (22×) pg2g |
[[∞,2,∞]+] | Rectangulaire | D2 | 
|
|
| cmm (2*22) c2 |
[∞,2+,∞]
|
Losange | D2 | 
|
|
| p4 (442) p4 |
[4,4]+  
|
Carré | C4 | 
|
|
| p4m (*442) p4 |
[4,4] 
|
Carré | D4 | 
|
|
| p4g (4*2) pg4 |
[4+,4]
|
Carré | D4 | 
|
|
| p3 (333) p3 |
[1+,6,3+]   [3[3]]+ |
Hexagonal | C3 | 
|
|
| p3m1 (*333) p3 |
[1+,6,3]  [3[3]]  
|
Hexagonal | D3 | 
|
|
| p31m (3*3) h3 |
[6,3+] [3+[3[3]]] |
Hexagonal | D3 | 
|
|
| p6 (632) p6 |
[6,3]+   [3[3[3]]]+ |
Hexagonal | C6 | 
|
|
| p6m (*632) p6 |
[6,3] [3[3[3]]] |
Hexagonal | D6 | 
|
|
Annexes modifier
Liens externes modifier
- (en) Peter Doyle, « A field guide to the orbifolds », The Geometry Center
Bibliographie modifier
- (en) John Horton Conway, Heidi Burgiel et Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things, A K Peters, , 426 p. (ISBN 978-1-56881-220-5)
- (en) John Horton Conway et Derek A. Smith, On Quaternions and Octonions, A K Peters, , 160 p. (ISBN 978-1-56881-134-5)
- (en) F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson et Asia Ivic Weiss, Kaleidoscopes : Selected Writings of H.S.M. Coxeter, Wiley-Interscience, , 439 p. (ISBN 978-0-471-01003-6, lire en ligne)
- (en) Harold Scott MacDonald Coxeter, « Regular and Semi Regular Polytopes I », Mathematische Zeitschrift, vol. 46, no 1, , p. 380-407 (DOI 10.1007/BF01181449)
- (en) Harold Scott MacDonald Coxeter, « Regular and Semi Regular Polytopes II », Mathematische Zeitschrift, vol. 188, no 4, , p. 559-591 (DOI 10.1007/BF01161657)
- (en) Harold Scott MacDonald Coxeter, « Regular and Semi Regular Polytopes III », Mathematische Zeitschrift, vol. 200, no 1, , p. 3-45 (DOI 10.1007/BF01161745)
- (en) David Hestenes et Jeremy Holt, « The Crystallographic Space groups in Geometric algebra », Journal of Mathematical Physics, vol. 48, no 2, (DOI 10.1063/1.2426416)
