Lemme de Zabrejko

Le lemme de Zabrejko est un résultat de topologie datant de 1969. Le lemme permet de démontrer des théorèmes importants de l'analyse fonctionnelle : les théorèmes de Banach-Steinhaus, de Banach-Schauder et du graphe fermé.

Énoncé

Soit $(X,\|\;\|)$ un espace de Banach, et soit $p:X\to \mathbb {R} ^{+}$ une semi-norme qui est conditionnellement sigma-sous-additive, c'est-à-dire :

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }x_{n}{\text{ converge }}\Rightarrow p{\Bigg (}\sum \limits _{n=0}^{\infty }x_{n}{\Bigg )}\leqslant \sum \limits _{n=0}^{\infty }p(x_{n})\leqslant \infty .$

Alors $p$ est continue, c'est-à-dire qu'il existe $M<\infty$ tel que $\forall x\in X\quad p(x)\leqslant M\|x\|$.