Lemme de Barbalat

Le lemme de Barbalat est un résultat d'analyse démontré par le mathématicien roumain Ion Barbălat en 1959. Il est parfois utilisé dans l'étude des équations différentielles.

Énoncé

Lemme de Barbălat — Soit $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ une fonction uniformément continue dont l'intégrale sur $\mathbb {R}$ (au sens de Riemann) converge.

Alors ${\underset {x\to \pm \infty }{\lim }}f(x)=0$.

Démonstration

Soit $\varepsilon >0$. Par continuité uniforme de $f$ :

$\exists \delta >0\quad \forall x,y\in \mathbb {R} \quad \left(|x-y|\leq \delta \implies |f(x)-f(y)|\leq \varepsilon \right)$.

Pour un tel $\delta$, puisque l'intégrale de $f$ sur $\mathbb {R}$ converge :

$\exists A\in \mathbb {R} \quad \forall x\in \mathbb {R} \quad \left(|x|\geq A\implies \left|\int _{x}^{x+\delta }f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq \varepsilon \delta \right)$.

On en déduit :

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \left(|x|\geq A\implies \delta |f(x)|=\left|\int _{x}^{x+\delta }f(x)\,\mathrm {d} t\right|\leq \int _{x}^{x+\delta }|f(x)-f(t)|\,\mathrm {d} t+\left|\int _{x}^{x+\delta }f(t)\,\mathrm {d} t\right|\leq 2\varepsilon \delta \right)$

donc

$\forall x\in \mathbb {R} \quad \left(|x|\geq A\implies |f(x)|\leq 2\varepsilon \right)$.

Contre-exemple

Le triangle centré en $k$ est d'aire ${\frac {1}{k^{2}}}$.

L'hypothèse d'uniforme continuité est essentielle, même si la fonction est positive. En effet, si l'on considère la fonction affine par morceaux f définie par :

$\forall k\geqslant 2\quad \forall x\in \left[k-{\frac {1}{k^{3}}},k\right]\quad f(x)=k^{4}\left(x-k+{\frac {1}{k^{3}}}\right){\text{ et }}\forall x\in \left[k,k+{\frac {1}{k^{3}}}\right]\quad f(x)=-k^{4}\left(x-k-{\frac {1}{k^{3}}}\right)$

et f est nulle ailleurs, la fonction f est bien intégrable, car : $\int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k^{2}}}<+\infty$.

Or, $f$ ne tend pas vers $0$ en $+\infty$ (elle n'est même pas bornée).