Pondération inverse à la distance
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La pondération inverse à la distance ou PID (en anglais, inverse distance weighting ou IDW) est une méthode d'interpolation spatiale, un processus permettant d'assigner une valeur à tout point d'un espace à partir d'un semis de points connus.
Une forme courante pour trouver une valeur interpolée u à partir d'un point donné x en utilisant la PID comme fonction d'interpolation :
où :
est une fonction simple de pondération, comme définie par Shepard[1], x étant le point à interpoler, xk est un point d'interpolation (connu), uk la valeur de la fonction u au point xk, d est une distance donnée (opérateur de mesure) du point d'interpolation xk au point à interpoler x, N est le nombre total de points connus utilisés dans l'interpolation et p est un nombre positif réel, appelé le paramètre de puissance. Ici, le poids des points voisins diminue lorsque la distance augmente. Les plus grandes valeurs de p donnent une influence plus grande aux valeurs les plus proches du point interpolé. Pour 0 < p < 1, en u(x), on observe des sommets lissés autour du point d'interpolation xk, alors que pour p > 1, le pic devient plus pointu. Le choix de p est donc une fonction du degré de lissage désiré pour l'interpolation, de la densité et la distribution des échantillons interpolés, et de la distance maximum au-delà de laquelle un échantillon individuel peut influencer les points environnants. Telle que décrite, la fonction d'interpolation est indéterminée aux points d'interpolation (division 0/0). Dans ce cas, la pondération sera prise égale à 1 pour le point à distance 0 de x, et 0 pour tous les autres points.
Pondération de Shepard modifier
La méthode de Shepard est une conséquence de la minimisation d'une fonction liée à la mesure des déviations entre les tuples de points interpolés {x, u(x)} et k tuples de points d'interpolation {xk, uk}, définis comme :
dérivé de la condition de minimisation : .
La méthode peut être aisément étendue à des dimensions supérieures de l'espace et est en fait une généralisation de l'approximation de Lagrange aux espaces multidimensionnels.
Une version modifiée de l'algorithme créé pour l'interpolation trivariée a été développée par Robert J. Renka et est disponible dans Netlib comme "algorithm 661" dans la bibliothèque "toms" ("Transactions On Mathematical Software").
Autres pondérations modifier
Pondération de Łukaszyk-Karmowski modifier
Une autre modification de la méthode de Shepard a été proposée par Łukaszyk[2] aussi en application à la mécanique appliquée. La fonction de pondération proposée avait la forme suivante :
où est la mesure de Lukaszyk-Karmowski choisie également en fonction de l'erreur statistique et de la distribution de la probabilité de la mesure des points interpolés.
Pondération de Franke-Little modifier
Une modification de la méthode de Shepard a été proposée par Franke[3], qui suggère d'utiliser : comme fonction de pondération, où R est le rayon de la sphère d'influence, distance au-delà de laquelle les points d'interpolation n'ont plus d'effet sur la valeur interpolée. De fait, la pondération de Franke-Little rend l'interpolation locale. Il faut s'assurer de choisir R pour que suffisamment de points soient situés à l'intérieur de la sphère d'influence. L'interpolation locale permet de diminuer la quantité de calculs lorsque les points d'interpolations sont très nombreux.
Références modifier
- Donald Shepard « A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data » () (DOI 10.1145/800186.810616)
— « (ibid.) », dans Proceedings of the 1968 ACM National Conference, p. 517–524 - A new concept of probability metric and its applications in approximation of scattered data sets
- (en) R. Franke, « Scattered data Interpolation: Tests of some methods », Mathematics of Computation, vol. 38, , p. 181–200
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Inverse distance weighting » (voir la liste des auteurs).
