Inégalités de Morse

En théorie de Morse, les inégalités de Morse sont une famille d'inégalités portant sur la combinatoire de points critiques d'une fonction de Morse sur une variété différentielle compacte M. Ces inégalités ne dépendent pas du choix de la fonction, mais seulement de la topologie de M, à travers les nombres de Betti de M ou autrement dit, sur l'homologie (à coefficients dans ℤ/2ℤ) de la variété.

Énoncé

Soit une fonction de Morse f sur une variété différentielle compacte M. En notant $B_{k}$ le k-ième nombre de Betti de la variété M et $c_{k}(f)$ le nombre de points critiques d'indice k de f on a :

Inégalités de Morse —  $c_{k}(f)\geq B_{k}$.

On parle de plusieurs inégalités puisqu'elles portent sur la variable k, c'est donc une inégalité pour chaque k.

Référence

Michèle Audin et Mihai Damian, Théorie de Morse et homologie de Floer, Les Ulis/Paris, EDP Sciences, 2010, 548 p. (ISBN 978-2-7598-0518-1), 80