Inégalité de Le Cam

L’inégalité de Le Cam[1], due à Lucien Le Cam, précise la rapidité de convergence de la loi de la somme d'un grand nombre de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre vers la loi de Poisson. Sa démonstration, élégante et peu calculatoire, illustre la méthode de couplage popularisée par Wolfgang Döblin.

ÉnoncéModifier

Soit   un tableau de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes, avec paramètres respectifs   On note

 

Alors

Inégalité de Le Cam — Pour tout ensemble A d'entiers naturels,

 

En particulier, Sn suit approximativement la loi de Poisson de paramètre λ dès que les deux conditions suivantes sont réunies :

  •  
  •  

En effet, l'inégalité de Le Cam entraine que :

 

Conséquence : paradigme de PoissonModifier

Posons

 

On a les inégalités :

 

donc les deux conditions   et   apparaissant à la section précédente, entrainent que

  •  
  •  

Les deux conditions   et   sont souvent reformulées informellement de la manière suivante :

Paradigme de Poisson —  La somme Sn d'un grand nombre de variables de Bernoulli indépendantes de petit paramètre suit approximativement la loi de Poisson de paramètre  

RemarquesModifier

DémonstrationModifier

Couplage loi de Bernoulli-loi de PoissonModifier

L'idée est d'exhiber une loi de probabilité μp, sur le plan, dont la première marginale est une loi de Bernoulli, la seconde une loi de Poisson, toutes deux d'espérance p, telle que le poids de la première bissectrice soit maximal. En d'autres termes, il s'agit de construire, sur un espace probabilisé bien choisi, deux variables aléatoires réelles X et Y, X suivant la loi de Bernoulli de paramètre p, Y suivant la loi de Poisson de paramètre p, de sorte que   soit minimal, ou, du moins, suffisamment petit, μp étant alors la loi jointe du couple (X,Y). Il est clair que

 

donc que

 

Dans le cas Poisson-Bernoulli, cette borne est atteinte en utilisant le théorème de la réciproque, de manière à construire X et Y sur l'intervalle ]0,1[ muni de la mesure de Lebesgue[3]. Ainsi

 

alors que

 

En ce cas, X et Y coïncident sur les intervalles :

  • ]0,1-p[, où les 2 variables valent 0,
  • et [e-p,(1+p)e-p[, où les 2 variables valent 1.

Les deux variables diffèrent sur le complémentaire de la réunion de ces deux intervalles, i.e. sur [1-p,1[ \ [e-p,(1+p)e-p[. Ainsi,

 

et

 

ConclusionModifier

On se donne une suite de variables aléatoires indépendantes   à valeurs dans le plan, telle que la loi de probabilité de chaque terme   de la suite est   On note   et   les deux coordonnées de   et on pose

 

Ainsi :

  • les   sont indépendantes et suivent des lois de Bernoulli de paramètres  
  • leur somme Sn a donc la loi que nous voulons étudier ;
  • les   sont indépendantes et suivent des lois de Poisson de paramètres  
  • Wn suit la loi de Poisson de paramètre   étant la somme de variables de Poisson indépendantes de paramètres  
  • en particulier, l'approximation proposée pour   se trouve être :
 
  •  

On a

 

et, en échangeant le rôle de Wn et celui de Sn ,

 

Par ailleurs, comme

 

on en déduit que

 

Finalement

 

À voirModifier

NotesModifier

  1. Article original : (en) L. Le Cam, « An Approximation Theorem for the Poisson Binomial Distribution », Pacific Journal of Mathematics, vol. 10, no 4,‎ , p. 1181–1197 (lire en ligne, consulté le ). Une référence accessible en ligne est (en) Torgny Lindvall, Lectures on the coupling method, New York/Chichester/Brisbane (Australia), John Wiley & Sons, , 1re éd., 257 p. (ISBN 0-471-54025-0), p. 4-6.
  2. (en) A. D. Barbour, L. Holst et S. Janson, Poisson approximation, Oxford, The Clarendon Press Oxford University Press, , 277 p. (ISBN 0-19-852235-5).
  3. Voir (en) Torgny Lindvall, Lectures on the coupling method, New York/Chichester/Brisbane (Australia), John Wiley & Sons, , 1re éd., 257 p. (ISBN 0-471-54025-0), p. 18-20, Section 1.5, particulièrement le Théorème 5.2, pour une discussion du lien avec la distance en variation, et pour une preuve de ce que cette borne peut toujours être atteinte à l'aide d'une construction appropriée de X et Y.

BibliographieModifier

Pages liéesModifier