Radical d'un idéal

ensemble des éléments d'un anneau dont une puissance entière appartient à un idéal
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En algèbre commutative, le radical[1] (aussi appelé la racine[2]) d'un idéal I dans un anneau commutatif A est l'ensemble des éléments de A dont une puissance appartient à I.

DéfinitionModifier

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ExempleModifier

Si A est un anneau principal, I est de la forme aA et son radical est l'idéal engendré par le produit des diviseurs irréductibles de a (chaque irréductible — à produit près par un inversible — n'apparaissant qu'une fois dans ce produit). En particulier dans ℤ, le radical d'un idéal nℤ est l'idéal engendré par le radical de l'entier n.

PropriétésModifier

  • Le radical de I est un idéal de A contenant I.
  • Le radical du radical de I est le radical de I.
  • Si I est un idéal primaire alors I est un idéal premier. La réciproque est fausse[3]. Cependant, si I est maximal alors I est primaire[4].
  • Si I est propre alors son radical est l'intersection des idéaux premiers de A qui contiennent I. (En effet[5], si A/I est non nul, son nilradical est l'intersection de ses idéaux premiers.)
  • Le nilradical de l'anneau A est par définition le radical de l'idéal nul.
  • Si I et J sont deux idéaux de A alors :
    • le radical de IJ est égal à l'intersection des radicaux de I et J et est aussi égal au radical de l'idéal produit IJ ;
    • le radical de l'idéal I + J contient la somme des radicaux de I et J. L'égalité n'est pas toujours vraie comme le montre l'exemple A = k[X, Y], I = XA et J = (X + Y2)A.
  • Si le radical de I est un idéal de type fini (c'est-à-dire de type fini comme sous-A-module de A), par exemple si A est noethérien, alors il existe un entier naturel n tel que xn appartienne à I pour tout x appartenant au radical de I.

Idéal radicielModifier

Un idéal I d'un anneau commutatif A est dit radiciel lorsqu'il est égal à son radical. En d'autres termes, I est radiciel si et seulement si l'anneau quotient A/I est réduit. Tout idéal premier est donc radiciel.

Notes et référencesModifier

  1. Roger Godement, Cours d'algèbre, Hermann, , 3e éd., p. 511.
  2. Daniel Perrin, Géométrie algébrique : Une introduction, EDP Sciences et CNRS Éditions, (1re éd. 1995) (lire en ligne), p. 17.
  3. Par exemple, si  ,   et  , alors   et   est premier, mais  ,   et   donc   n'est pas primaire.
  4. (en) Michael Atiyah et Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, (lire en ligne), p. 51, Proposition 4.2.
  5. Atiyah et Macdonald 1969, p. 9.