Radical d'un entier

En arithmétique, le radical d'un entier n strictement positif est le produit des nombres premiers qui divisent n :

$\displaystyle \mathrm {rad} (n)=\prod _{p\mid n \atop p{\text{ premier}}}p~.$

Exemples

• La suite A007947 de l'OEIS des radicaux des entiers strictement positifs commence parrad(1) = 1, rad(2) = 2, rad(3) = 3, rad(4) = 2, rad(5) = 5, rad(6) = 6, rad(7) = 7, rad(8) = 2, rad(9) = 3, rad(10) = 10.
• rad(504) = rad(2³ × 3² × 7) = 2 × 3 × 7 = 42.

Propriétés

• La fonction rad est multiplicative, mais non complètement multiplicative.
• Le radical de tout entier n > 0 est le plus grand diviseur de n sans facteur carré.
• Dans l'anneau des entiers relatifs, le radical de l'idéal engendré par n est l'idéal engendré par le radical de n.
• Les éléments nilpotents de ℤ/nℤ sont les multiples de rad(n).
• Une des utilisations les plus frappantes de la notion de radical est la conjecture abc.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Radical of an integer » (voir la liste des auteurs).
• (en) Richard Guy, Unsolved Problems in Number Theory, New York, Springer-Verlag, 2004, 437 p. (ISBN 0-387-20860-7, lire en ligne), p. 102