On considère un ensemble
Ω
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \Omega =(x_{1},\dots ,x_{n})}
H
=
{
H
1
,
…
,
H
g
}
{\displaystyle H=\{H_{1},\dots ,H_{g}\}}
parties de
Ω
{\displaystyle \Omega }
H est une hiérarchie sur
Ω
{\displaystyle \Omega }
∅
∈
H
{\displaystyle \emptyset \in H}
quel que soit i ,
{
x
i
}
∈
H
{\displaystyle \{x_{i}\}\in H}
Ω
∈
H
{\displaystyle \Omega \in H}
quels que soient k et
ℓ
{\displaystyle \ell }
H
k
∩
H
ℓ
=
∅
{\displaystyle H_{k}\cap H_{\ell }=\emptyset }
H
k
⊂
H
ℓ
{\displaystyle H_{k}\subset H_{\ell }}
H
ℓ
⊂
H
k
{\displaystyle H_{\ell }\subset H_{k}}
Par exemple, pour un ensemble
Ω
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
)
{\displaystyle \Omega =(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}
H
=
{
∅
,
{
x
1
}
,
{
x
2
}
,
{
x
3
}
,
{
x
4
}
,
{
x
1
,
x
2
}
,
{
x
3
,
x
4
}
,
{
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
}
}
{\displaystyle H=\left\{\ \emptyset \ ,\{x_{1}\},\{x_{2}\},\{x_{3}\},\{x_{4}\},\{x_{1},x_{2}\},\{x_{3},x_{4}\},\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\right\}}
est une hiérarchie.
Indice sur une hiérarchie
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On appelle indice sur un hiérarchie H de
Ω
{\displaystyle \Omega }
i de
H
∖
{
∅
}
{\displaystyle H\backslash \left\{\ \emptyset \ \right\}}
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
si
H
k
⊂
H
ℓ
{\displaystyle H_{k}\subset H_{\ell }}
k
≠
ℓ
{\displaystyle k\neq \ell }
i
(
H
k
)
<
i
(
H
ℓ
)
{\displaystyle i(H_{k})<i(H_{\ell })}
quel que soit
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
i
(
{
x
i
}
)
=
0
{\displaystyle i(\{x_{i}\})=0}
Le couple
(
H
,
i
)
{\displaystyle (H,i)}
hiérarchie indexée .
Dans le cas de données continues, la fonction d'inertie définit un indice. En considérant l'exemple précédent et en considérant que les points
x
i
{\displaystyle x_{i}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
x
1
=
(
1
,
0
)
{\displaystyle x_{1}=(1,0)\,}
x
2
=
(
1
,
0.5
)
{\displaystyle x_{2}=(1,0.5)\,}
x
3
=
(
2
,
2
)
{\displaystyle x_{3}=(2,2)\,}
x
4
=
(
2
,
2.2
)
{\displaystyle x_{4}=(2,2.2)\,}
La fonction d'inertie prend les valeurs suivantes :
i
(
{
x
1
}
)
=
0
{\displaystyle i\left(\{x_{1}\}\right)=0\,}
i
(
{
x
2
}
)
=
0
{\displaystyle i\left(\{x_{2}\}\right)=0\,}
i
(
{
x
3
}
)
=
0
{\displaystyle i\left(\{x_{3}\}\right)=0\,}
i
(
{
x
4
}
)
=
0
{\displaystyle i\left(\{x_{4}\}\right)=0\,}
i
(
{
x
1
,
x
2
}
)
=
1.125
{\displaystyle i\left(\{x_{1},x_{2}\}\right)=1.125\,}
i
(
{
x
3
,
x
4
}
)
=
0.2
{\displaystyle i\left(\{x_{3},x_{4}\}\right)=0.2\,}
i
(
{
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
}
)
=
4.5674
{\displaystyle i\left(\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}\right)=4.5674\,}
Une telle hiérarchie peut être représentée par le dendrogramme suivant :
