En mathématiques, un groupe de lacets (loop group en anglais) est un groupe composé de lacets dans un groupe topologique G.

Définition modifier

Dans sa forme la plus générale, un groupe de lacets est un groupe d'applications continues d'une variété M dans un groupe topologique G.

Plus précisément[1], soit M = S1, le cercle dans le plan complexe, et soit LG désignant l'espace des applications continues S1G, c'est-à-dire

 

muni de la topologie compacte-ouverte. Un élément de LG est un lacet de G. La multiplication point par point de lacets donne à LG la structure d'un groupe topologique.

L'espace LG est appelé groupe libre de lacets sur G. Un groupe de boucles désigne n'importe quel sous-groupe du groupe libre LG.

Exemples modifier

Un exemple important de groupe de lacets est le groupe ΩG des lacets pointés sur G. Par définition, c'est le noyau du morphisme   , et est donc un sous-groupe distingué fermé de LG. (Ici, e1 est le morphisme qui envoie à un lacet sa valeur à  .) Notez que nous pouvons plonger G dans LG en tant que sous-groupe des lacets constantes. Par conséquent, nous obtenons une suite exacte courte :

 
Des groupes de boucles ont été utilisés pour expliquer le phénomène des transformations de Bäcklund dans les équations du soliton par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck[2].

Notes modifier

  1. Bäuerle et de Kerf 1997
  2. (en)Geometry of Solitons par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck

Références modifier

Articles connexes modifier