Groupe ax + b

En mathématiques, le groupe a x + b est le groupe $G$ ainsi défini :

• ses éléments sont les couples de réels $(a,b)$ avec $a$ non nul
• la loi de composition interne est :

$(a,b)(a',b')=(aa',ab'+b)$

Il est alors facile de voir que $(1,0)$ est l'élément neutre du groupe, et que l'élément symétrique de $(a,b)$ est $(1/a,-b/a)$.

Ce groupe peut également se représenter comme :

• le groupe affine de la droite réelle, c'est-à-dire l'ensemble des bijections affines de ℝ muni de la composition (d'où le nom du groupe)
• le sous-groupe du groupe linéaire GL₂(ℝ) constitué des éléments de la forme :

$\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)$

Fonction modulaire

Ce groupe est localement compact et possède donc des mesures de Haar à gauche et à droite. Ce groupe n'est pas unimodulaire, c'est-à-dire que les mesures à gauche et à droite ne coïncident pas.

Une mesure de Haar à gauche est $\mathrm {d} g={\frac {1}{|a|^{2}}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b$. Une mesure de Haar à droite est $\mathrm {d} g={\frac {1}{|a|}}\mathrm {d} a\mathrm {d} b$.

Nous obtenons donc une fonction modulaire :

$\Delta (a,b)={\frac {1}{|a|}}.$

Représentations unitaires irréductibles

Si on se restreint au sous-groupe obtenu en ajoutant la condition $a>0$, les représentations unitaires irréductibles du groupe ax+b sont les suivantes :

1. les représentations de dimension 1 correspondent aux représentations des nombres réels strictement positifs, vus comme groupe multiplicatif;
2. l'unique représentation de dimension infinie est obtenue sur ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ par

$(a\cdot f)(x)=a^{1/2}f(ax)$

et

$(b\cdot f)(x)=f(x+b)$

Références

• Yvette Kosmann-Schwarzbach, Groupes et symétries, Éditions de l'École Polytechnique, 2005
• Pierre Eymard et Marianne Terp, « La transformation de Fourier et son inverse sur le groupe des ax+b d'un corps local », dans Analyse Harmonique sur les Groupes de Lie II, Springer, 1979 (DOI 10.1007/BFb0062494), p. 207-248
• (en) I. Gelfand et M. Neumark, « Unitary representations of the group of linear transformations of the straight line », C. R. (Doklady) Acad. Sci URSS (N.S.), vol. 55,‎ 1947, p. 567-570