Graphe cycle

famille de graphe
Ne doit pas être confondu avec Graphe des cycles ou Cycle (théorie des graphes).

Graphe cycle
Image illustrative de l’article Graphe cycle

Notation
Nombre de sommets
Nombre d'arêtes
Distribution des degrés 2-régulier
Diamètre n/2 si n pair
(n – 1)/2 sinon
Propriétés Hamiltonien
Eulérien
Planaire
Distance-unité
Symétrique
Graphe de Cayley

Les graphes cycles, ou n-cycles, forment une famille de graphes. Le graphe cycle est constitué d'un unique cycle élémentaire de longueur n (pour ). C'est un graphe connexe non-orienté d'ordre n à n arêtes. Il est 2-régulier, c'est-à-dire que chacun de ses sommets est de degré 2[1].

TerminologieModifier

Beaucoup de termes sont employés pour désigner le graphe cycle : n-cycle, polygone et n-gone. Le terme de graphe cyclique est parfois employé, mais il pose problème car il s'oppose normalement à graphe acyclique.

Propriétés fondamentalesModifier

  • Nombre chromatique. Le nombre chromatique du cycle   est égal à 3 si n est impair, à 2 sinon. En d'autres termes,   est biparti si et seulement si n est pair.
  • Connexité. Par construction   est connexe. Il est facile de constater qu'il est 2-sommet-connexe (c'est-à-dire qu'il cesse d'être connexe uniquement quand on lui supprime 2 sommets). Il est également 2-arête-connexe.
  • Hamiltonicité. L'unique cycle contenu dans   est un cycle hamiltonien. Le graphe cycle est donc hamiltonien.
  • Planarité.   est un graphe planaire.
  • Eulérien. Étant 2-régulier, le cycle   est eulérien par le théorème d'Euler-Hierholzer.
  • Line graph. Le line graph de   est isomorphe à  .

Aspects algébriquesModifier

Le graphe cycle   peut être dessiné comme un polygone régulier à n sommets. Les isométries de ce polygone s'avèrent alors êtres des automorphismes de  . De là découlent l'arête-transitivité et la sommet-transitivité.   est donc un graphe symétrique. Tous ses sommets et toutes ses arêtes jouent le même rôle en termes d'isomorphisme de graphe.

Il est facile de constater que seules les isométries de ce polygone sont des automorphismes valides de  . Le groupe d'automorphismes du graphe cycle   est donc isomorphe à celui des isométries du polygone régulier à n sommets, à savoir le groupe diédral  , groupe d'ordre 2n[2].

Le graphe cycle   est un graphe de Cayley[3] avec :

  et  

Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence du graphe cycle   est   (dont toutes les racines sont doubles sauf 2 et éventuellement -2).

Cas particuliersModifier

  •   est le graphe triangle.
  •   est le graphe carré, il est isomorphe à l'hypercube   ou a la grille G(2,2).
  •   est isomorphe au graphe de Kneser  .

GalerieModifier

RéférencesModifier

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Cycle Graph », sur MathWorld
  2. Kenneth H. Rosen, John G. Michaels. Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000.
  3. In theory: Characters and Expansion by Luca Trevisan