G-espérance

En théorie des probabilités, la g-espérance est une espérance non-linéaire définie à partir d'une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) introduite par Shige Peng.

Définition

Soit un espace probabilisé $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ avec $(W_{t})_{t\geq 0}$ un processus de Wiener en dimension d (sur cet espace). Soit la filtration générée par $(W_{t})$, i.e. ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (W_{s}:s\in [0,t])$, et soit $X$ une variable aléatoire ${\mathcal {F}}_{T}$ mesurable. Considérons l'EDSR donnée par:

${\begin{aligned}dY_{t}&=g(t,Y_{t},Z_{t})\,dt-Z_{t}\,dW_{t}\\Y_{T}&=X\end{aligned}}$

Alors la g-espérance pour $X$ est donnée par $\mathbb {E} ^{g}[X]:=Y_{0}$. Notons que si $X$ est un vecteur de dimension m, alors $Y_{t}$ (pour tout temps $t$) est un vecteur de dimension m et $Z_{t}$ est une matrice de taille $m\times d$.

En fait l'espérance conditionnelle est donnée par $\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]:=Y_{t}$ et similairement à la définition formelle pour l'espérance conditionnelle il vient $\mathbb {E} ^{g}[1_{A}\mathbb {E} ^{g}[X\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} ^{g}[1_{A}X]$ pour tout $A\in {\mathcal {F}}_{t}$ (où la fonction $1$ est la fonction indicatrice).

Existence et unicité

Soit $g:[0,T]\times \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}\to \mathbb {R} ^{m}$ satisfaisant:

1. $g(\cdot ,y,z)$ est un ${\mathcal {F}}_{t}$-processus adapté pour tout $(y,z)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} ^{m\times d}$
2. $\int _{0}^{T}|g(t,0,0)|\,dt\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{T},\mathbb {P} )$ l'espace L2 (où $|\cdot |$ est une norme dans $\mathbb {R} ^{m}$)
3. $g$ est une application lipschitzienne en $(y,z)$, i.e. pour tout $y_{1},y_{2}\in \mathbb {R} ^{m}$ et $z_{1},z_{2}\in \mathbb {R} ^{m\times d}$ il vient $|g(t,y_{1},z_{1})-g(t,y_{2},z_{2})|\leq C(|y_{1}-y_{2}|+|z_{1}-z_{2}|)$ pour une constante $C$

Alors pour toute variable aléatoire $X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} ;\mathbb {R} ^{m})$ il existe une unique paire de processus ${\mathcal {F}}_{t}$-adaptés $(Y,Z)$ qui vérifient l'équation différentielle stochastique rétrograde.

En particulier, si $g$ vérifie également:

1. $g$ est continue en temps ($t$)
2. $g(t,y,0)\equiv 0$ pour tout $(t,y)\in [0,T]\times \mathbb {R} ^{m}$

alors pour la condition terminale $X\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} ;\mathbb {R} ^{m})$ il suit que les processus solution $(Y,Z)$ sont de carré intégrable. Ainsi $\mathbb {E} ^{g}[X|{\mathcal {F}}_{t}]$ est de carré intégrable pour tout temps $t$.

Voir aussi

• Espérance mathématique