Forme parabolique

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En mathématiques, une forme parabolique ou cuspidale (selon l'anglais cusp form) est une forme modulaire vérifiant des conditions d'annulation aux pointes.

Une forme modulaire pour le groupe modulaire est parabolique si tend vers zéro pour , car la courbe modulaire n'a qu'une seule pointe (où désigne le plan hyperbolique). Dans ce cas, une condition équivalente pour être parabolique est que la série de Fourier de est de la forme

avec . L'annulation des pour signifie que est une forme modulaire holomorphe. L'annulation de la rend parabolique.

Forme parabolique de poids donné

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Ici on considère les formes paraboliques pour le groupe modulaire  . La définition implique que le poids d'une forme parabolique non-nulle est nécessairement pair. La dimension de l'espace vectoriel des formes paraboliques de poids   peut être calculée avec le théorème de Riemann-Roch. Le résultat vaut   si   et   sinon. Ainsi, les plus petits poids pour lesquels existent des formes paraboliques non-triviaux sont

 ,

et dans chacun de ces cas, la forme parabolique est unique à multiplication par un complexe près.

Par exemple, l'unique forme parabolique de poids 12 (à multiplication par un complexe près) est le discriminant modulaire

 ,

dont les coefficients de Fourier   définissent la fonction tau de Ramanujan.

Références

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Voir aussi

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