Fonction zêta d'Arakawa-Kaneko

En mathématiques, la fonction zêta d'Arakawa-Kaneko est une généralisation de la fonction zêta de Riemann qui génère des valeurs spéciales de la fonction polylogarithme et liée à diverses fonctions spéciales.

Définition

La fonction zêta d'Arakawa-Kaneko $\xi _{k}(s)$ est définie par une transformation de Mellin :

$\xi _{k}(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {Li} _{k}(1-\mathrm {e} ^{-t})\,\mathrm {d} t\$

où Li_k désigne le k -ième polylogarithme

$\mathrm {Li} _{k}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{k}}}\ .$

Propriétés

L'intégrale converge pour $\Re (s)>0$ et $\xi _{k}(s)$ admet un prolongement analytique sur l'ensemble du plan complexe en tant que fonction entière.

Le cas particulier k = 1 donne $\xi _{1}(s)=s\zeta (s+1)$ où $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann classique.

Le cas particulier s = 1 donne aussi remarquablement $\xi _{k}(1)=\zeta (k+1)$ .

Les valeurs aux nombres entiers sont liées à la fonction zêta multiple par

$\xi _{k}(m)=\zeta _{m}^{*}(k,1,\ldots ,1)$

où

$\zeta _{n}^{*}(k_{1},\dots ,k_{n-1},k_{n})=\sum _{0<m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{n}}{\frac {1}{m_{1}^{k_{1}}\cdots m_{n-1}^{k_{n-1}}m_{n}^{k_{n}}}}\ .$

Extensions

Coppo et Candelpergher ont étendu la définition de la fonction zêta d'Arakawa-Kaneko par :

$\xi _{k}(s,x)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {t^{s-1}\mathrm {e} ^{-xt}}{1-\mathrm {e} ^{-t}}}\mathrm {Li} _{k}(1-\mathrm {e} ^{-t})\,\mathrm {d} t\$

en s'inspirant de la façon dont la fonction zêta de Hurwitz est une extension de la fonction zêta de Riemann.

On peut ainsi représenter d'autres fonctions spéciales par des représentations intégrales similaires. Par exemple, la fonction bêta de Dirichlet admet la représentation :

$\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-t}}{1-\mathrm {e} ^{-2t}}}\mathrm {Li} _{0}\left({\frac {1-\mathrm {e} ^{-2t}}{2}}\right)\,\mathrm {d} t\$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Arakawa–Kaneko zeta function » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Masanobou Kaneko, « Poly-Bernoulli numbers », Journal de théorie des nombres de Bordeaux, vol. 9,‎ 1997, p. 221–228 (zbMATH 0887.11011, lire en ligne)
• (en) Tsuneo Arakawa et Masanobu Kaneko, « Multiple zeta values, poly-Bernoulli numbers, and related zeta functions », Nagoya Mathematical Journal, vol. 153,‎ 1999, p. 189–209 (MR 1684557, zbMATH 0932.11055, lire en ligne)
• (en) Marc-Antoine Coppo et Bernard Candelpergher, « The Arakawa–Kaneko zeta function », Ramanujan Journal, vol. 22,‎ 2010, p. 153–162 (zbMATH 1230.11106)
• (en) Marc-Antoine Coppo et Bernard Candelpergher, « Inverse binomial series and values of Arakawa–Kaneko zeta functions », Journal of Number Theory, vol. 150,‎ 2015, p. 98-119 (ISSN 0022-314X, DOI 10.1016/j.jnt.2014.11.007., lire en ligne)