Fonction univalente
En mathématiques, et plus précisément en analyse complexe, une fonction holomorphe sur un sous-ensemble ouvert d'un plan complexe est appelée « fonction univalente » si elle est injective.
Exemples modifier
Toute transformation de Möbius d'un disque unitaire ouvert dans lui-même, où est univalente.
Propriétés modifier
On peut démontrer que si et sont deux ensembles ouverts connexes dans le plan complexe, et
est une fonction univalente tel que (c'est-à-dire que est une surjection, donc une bijection), alors la dérivée de ne s'annule jamais, et la bijection réciproque de , notée , est également holomorphe. De plus, d'après le théorème de dérivation des fonctions composées,
pour tous dans
Comparaison avec les fonctions réelles modifier
Pour les fonctions analytiques réelles, ces propriétés ne sont plus valables. Par exemple, si l'on considère la fonction
donnée par ƒ(x) = x3, cette fonction est trivialement injective. Cependant, sa dérivée vaut 0 en x = 0, et son inverse n'est ni analytique, ni même différentiable, sur l'intervalle entier (−1, 1).
Bibliographie modifier
- John B. Conway, Functions of One Complex Variable I, Springer-Verlag, New York, 1978 (ISBN 0-387-90328-3)
- John B. Conway, Functions of One Complex Variable II, Springer-Verlag, New York, 1996 (ISBN 0-387-94460-5).
Références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Univalent function » (voir la liste des auteurs).
