Fonction quadratique

fonction polynôme du second degré

En mathématiques, une fonction quadratique est une fonction de plusieurs variables polynomiale de degré 2. Cette notion généralise ainsi celle de fonction du second degré. Elle réalise aussi la partie régulière du développement de Taylor à l’ordre 2 pour une fonction de plusieurs variables.

La matrice hessienne associée est la même en tout point, et ne dépend que de la forme quadratique constituée par les termes de degré 2. Elle permet aussi d’écrire le système d'équations linéaires qui détermine les points critiques de la fonction. Le déterminant de cette matrice est non nul si et seulement s’il existe un unique point critique.

Fonction quadratique à deux variablesModifier

Une fonction quadratique à deux variables s’écrit sous la forme   et on définit son discriminant  , opposé du déterminant hessien. La fonction a pour surface représentative une des quadriques suivantes : paraboloïde elliptique (si  ) ou hyperbolique (si  ), ou un cylindre parabolique dans les cas dégénérés (si  ).

Hors des cas dégénérés, la fonction quadratique admet un seul point critique, dont les coordonnées sont les solutions du système