Fonction marginale

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, la fonction marginale associée à une fonction de deux variables est la fonction dont la valeur en est obtenue en minimisant en . Dans certains contextes, elle est dénommée fonction valeur.

Cette fonction apparaît lorsqu'on étudie la perturbation de problème d'optimisation, dans la dualisation de problème d'optimisation, dans des techniques de construction de fonction comme l'inf-convolution, dans la définition de la régularisée de Moreau-Yosidaetc. Le concept est généralisé par l'inf-image sous une application linéaire.

DéfinitionModifier

Soient   et   deux ensembles et   une fonction de   dans la droite réelle achevée  . La fonction marginale de   est la fonction   dont la valeur en   est la borne inférieure dans   de l'ensemble image  , ce que l'on note :

 

ConvexitéModifier

On suppose dans cette section que   et   sont des espaces vectoriels. On note   l'ensemble des fonctions convexes propres définies sur un espace vectoriel  .

Convexité d'une fonction marginale — Dans le cadre précisé ci-dessus :

  •   est convexe, si   est convexe,
  •  , si   et si   ne prend pas la valeur  .

La fonction marginale est une enveloppe inférieure de fonctions convexes  , paramétrées par  . On pourrait donc, à juste titre, s'étonner de sa convexité. C'est évidemment la convexité conjointe sur   qui permet d'avoir cette propriété.

Sous-différentielModifier

On suppose ici que, dans la définition de la fonction marginale,   et   sont deux espaces euclidiens et   est l'espace euclidien produit.

Le sous-différentiel de   dépend de celui de   qui est supposé calculé pour ce produit scalaire.

Sous-différentiel d'une fonction marginale — Dans le cadre défini ci-dessus, supposons que   et que sa fonction marginale  . Si   et   (l'infimum est atteint en  ), alors

 

Ce résultat appelle quelques remarques.

  1. Il faut bien noter que, si la borne inférieure   est atteinte en plusieurs  ,   ne dépend pas du minimiseur   choisi.
    On a un autre éclairage sur cette indépendance par rapport à   en observant que   est constante sur l'ensemble  , si bien que   est aussi constant sur l'intérieur relatif de  . Cependant,   peut varier lorsque   passe de l'intérieur relatif de   à son bord. C'est le cas de la fonction définie par  , dont la fonction marginale est nulle :

     

  2. D'autre part, si   est différentiable en  , où   est un minimiseur quelconque de  , alors   est également différentiable en   (car son sous-différentiel est un singleton) et l'on a

     

    C'est comme s'il y avait un minimiseur unique  , fonction différentiable de  , que l'on écrivait   et que l'on calculait   par une dérivation en chaîne :

     

    On retrouverait le résultat ci-dessus en observant que   car   minimise  .
  3. Le fait que   ait un minimum unique n'implique nullement la différentiabilité de la fonction marginale en  . Par exemple,   est la fonction marginale de   définie par  . Cette dernière a un minimum   unique en   quel que soit  , alors que   peut ne pas être différentiable.

BibliographieModifier