Fonction de Riccati-Bessel

En analyse, les fonctions de Riccati–Bessel sont des fonctions spéciales construites à partir des fonctions de Bessel classiques, qui apparaissent en mécanique quantique dans la résolution de l'équation de Schrödinger avec une barrière cylindrique infinie hypothétique. Elles vérifient l'équation différentielle :

$$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.$$

Elles sont définies par :

${\begin{aligned}S_{n}(x)&=xj_{n}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\C_{n}(x)&=-xy_{n}(x)=-{\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)\\\xi _{n}(x)&=xh_{n}^{(1)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(1)}(x)=S_{n}(x)-\mathrm {i} C_{n}(x)\\\zeta _{n}(x)&=xh_{n}^{(2)}(x)={\sqrt {\frac {\pi x}{2}}}H_{n+{\frac {1}{2}}}^{(2)}(x)=S_{n}(x)+\mathrm {i} C_{n}(x)\end{aligned}}$

Fonctions de Riccati–Bessel S_n sur le plan complexe

Avec les travaux de Peter Debye, on note parfois ψ_n et χ_n au lieu de S_n et C_n respectivement.

Premières fonctions

On a :

${\begin{array}{lll}S_{0}(x)=\sin x,&\quad &C_{0}(x)=\cos x,&\quad \\S_{1}(x)={\frac {\sin x}{x}}-\cos x,&\quad &C_{1}(x)={\frac {\cos x}{x}}+\sin x,&\quad \\S_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{x}}S_{n}(x)-S_{n-1}(x),&\quad &C_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{x}}C_{n}(x)-C_{n-1}(x),&\forall n\geqslant 0\\\end{array}}$

Développements en série

Les fonctions de Riccati-Bessel ont pour développements en série entière :

$\forall n\in \mathbb {N} ,S_{n}(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{n+2k+1}}{(2k)!!(2n+2k+1)!!}},\ C_{n}(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n+k}x^{2k-n}}{(2k)!!(2k-2n-1)!!}}$

où, pour un entier p, p!! désigne la double factorielle.

Application

L'équation différentielle apparait dans le problème de diffraction d'ondes électromagnétiques par une sphère, ce qu'on appelle la diffraction de Mie depuis que Gustav Mie a publié la première solution en 1908.

Articles connexes

• Friedrich Wilhelm Bessel
  • Fonction de Bessel
• Hermann Hankel
  • Fonction de Hankel

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bessel function » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Riccati-Bessel Functions », sur MathWorld
• (en) « Riccati–Bessel Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)