Fonction de Liapounov

Une fonction de Liapounov est une fonction qui permet d'estimer la stabilité d'un point d'équilibre (ou, plus généralement, d'un mouvement, c'est-à-dire d'une solution maximale) d'une équation différentielle.

Position du problème

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Soit   une fonction et   un système dynamique, avec   un point d'équilibre de ce système, c'est-à-dire que  .

Par un changement de variable  , on peut se ramener au cas où l'origine est un point d'équilibre ( ).

Définition

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Une fonction   est une fonction candidate de Liapounov si

  •   ;
  •  , pour un certain voisinage   de l'origine.

La dérivée   d'une fonction   le long du champ de vecteurs   est définie par

 

  désigne le produit scalaire dans l'espace considéré et   l'opérateur gradient.

Si une fonction candidate de Liapounov   vérifie

  pour un certain voisinage   de l'origine,

on dit que   est une fonction de Liapounov.

Théorème

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Il existe une fonction de Liapounov pour le système dynamique considéré, si, et seulement si l'origine est un équilibre stable de ce système.

De plus, l'origine est asymptotiquement stable si, et seulement s'il existe une fonction de Liapounov   vérifiant

 .

Ce théorème, dû à plusieurs auteurs (Alexandre Liapounov, K. P. Persidsky, José Luis Massera), est l'un des principaux résultats de la théorie de la stabilité de Liapunov ; sa démonstration est donnée au paragraphe « Théorèmes fondamentaux » de l'article détaillé.

Bibliographie

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