Fonction 91 de McCarthy

La fonction 91 de McCarthy est une fonction récursive définie par McCarthy dans son étude de propriétés de programmes récursifs, et notamment de leur vérification formelle. Avec la fonction de Takeuchi, elle est un exemple amplement repris dans les manuels de programmation.

Définition

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La fonction 91 de McCarthy est une fonction récursive définie pour   par

 

ou, dans la notation de Knuth[1] :

  si   alors   sinon  .

On peut démontrer qu'elle est en fait constante et égale à 91 pour  .

Histoire

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La fonction 91 a été introduite en 1970 dans des articles de Zohar Manna, Amir Pnueli et John McCarthy[2],[3], qui sont les prémices de la recherche sur les méthodes formelles de vérification de programmes. La fonction 91 est réellement récursive (avec de multiples appels récursifs imbriqués) par opposition à des fonctions avec récursivité terminale. Cette fonction a été popularisée par le livre de Manna Mathematical Theory of Computation[4], puis citée en 1978 dans le livre en français de C. Livercy Théorie des programmes[5]. Donald Knuth en a présenté l'historique et des extensions en 1991[1].

La fonction a été citée maintes fois dans la littérature de recherche, car elle est apparue alors comme un défi pour les méthodes de vérification de programmes.

Exemples d'évaluation

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Premier exemple
f(99) = f(f(110)) car 99 ≤ 100
      = f(100)    car 110 > 100
      = f(f(111)) car 100 ≤ 100
      = f(101)    car 111 > 100
      = 91        car 101 > 100
Deuxième exemple
f(87) = f(f(98))
      = f(f(f(109)))
      = f(f(99))
      = f(f(f(110)))
      = f(f(100))
      = f(f(f(111)))
      = f(f(101))
      = f(91)
      = f(f(102))
      = f(92)
      = f(f(103))
      = f(93)
      ... 
      = f(99)
      ...
      = 91

Démonstration

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Pour démontrer que   pour tout entier  , on considère d'abord le cas   ; on a alors

 

parce que   ; on a donc

 .

Comme   pour les entiers d'un intervalle de 11 valeurs consécutives, on peut utiliser une récurrence pour les valeurs inférieures à 90, et on a   pour   aussi.

Transformation en récursion terminale

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On peut considérer la fonction récursive terminale g définie par

 

et on a

 

parce que

 ,

  dénote l'application   fois de   (p. ex.  ).

Une variante mutuellement récursive terminale est la définition :

 

avec

 
 

Une dérivation formelle de la version mutuellement récursive à partir de la version récursive initiale a été donnée par Mitchell Wand[6], en utilisant les continuations.

Généralisations de Knuth

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Donald Knuth, dans son article[1], considère des généralisations de la fonction, et notamment des itérés   de la fonction, et illustre en particulier   par une définition

  si   alors   sinon  

Il montre que   pour cette fonction aussi. Il regarde ensuite la généralisation

  si   alors   sinon  ,

et il montre que la fonction ainsi définie est totale si et seulement si  . Dans ce cas, la fonction vérifie aussi la relation plus simple

  si   alors   sinon  .

Notes et références

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  1. a b et c Knuth 1991.
  2. Manna et Pnueli 1970.
  3. Manna et McCarthy 1970.
  4. Manna 1974.
  5. C.Livercy, Théorie des programmes, Dunod, (lire en ligne), p. 23.
  6. Wand 1980.

Bibliographie

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  • [Manna & Pnueli] (en) Zohar Manna et Amir Pnueli, « Formalization of Properties of Functional Programs », Journal of the ACM, vol. 17, no 3,‎ , p. 555–569 (DOI 10.1145/321592.321606)
  • [Manna & McCarthy] (en) =Zohar Manna et John McCarthy, « Properties of programs and partial function logic », Machine Intelligence, vol. 5,‎ , p. 27-37
  • [Manna] Zohar Manna, Mathematical Theory of Computation, New-York, McGraw-Hill, — Réimpression en 2003 par Dover Publications.
  • [Wand] (en) Mitchell Wand, « Continuation-Based Program Transformation Strategies », Journal of the ACM, vol. 27, no 1,‎ , p. 164–180 (DOI 10.1145/322169.322183)
  • [Knuth] Donald E. Knuth, « Textbook Examples of Recursion », dans Vladimir Lifschitz (éditeur), Artificial Intelligence and Mathematical Theory of Computation: Papers in Honor of John McCarthy, Academic Press, , 490 p. (ISBN 0124500102, arXiv cs/9301113), p. 207-229
  • [Livercy] C. Livercy (préf. Claude Pair), Théorie des programmes : Schémas, preuves, sémantique, Paris, Dunod, , xii+328 (ISBN 2-04-010516-6, SUDOC 000231142, lire en ligne), p. 23 — Livercy est le nom collectif de Jean-Pierre Finance, Monique Grandbastien, Pierre Lescanne, Pierre Marchand, Roger Mohr, Alain Quéré, Jean-Luc Rémy

Voir aussi

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