Synthèse des filtres linéaires

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En électronique analogique ou numérique, la synthèse de filtres linéaires représente l'ensemble des outils mathématiques destinés à concevoir un filtre à partir de spécifications dans le domaine fréquentiel ou temporel.

Définition modifier

Un filtre linéaire est un système S vérifiant les propriétés suivantes :

Linéarité
 
Continuité
 
Stationnarité
 

Spécifications modifier

De ces trois propriétés, on peut déduire qu'un filtre linéaire est caractérisé par une fonction h telle que la réponse du filtre à tout signal d'entrée e soit :

 

Il s'agit du produit de convolution des fonctions h et e que l'on peut aussi noter :

 

h est appelée la réponse impulsionnelle du filtre. La connaitre permet de caractériser totalement le filtre.

Une autre façon de caractériser un filtre est sa fonction de transfert, qui est liée à la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle :

 

Analyse par transformée de Fourier modifier

Le fait que l'opération réalisée par le filtre soit une convolution invite à étudier les transformées de Fourier des signaux :

 

donc :

 

On remarque qu'en particulier :

 

Les fonctions   sont donc les fonctions propres des filtres linéaires, ce qui explique que la transformation de Fourier, qui fait appel aux mêmes fonctions, soit un outil privilégié pour l'analyse des systèmes linéaires stationnaires continus[1].

Filtre du premier ordre modifier

Ce filtre peut être facilement synthétisé à partir d'une cellule RC, à la condition d'être connectée à une source d'impédance interne négligeable devant celle de la cellule, et une charge d'impédance très grande devant celle de la cellule.

Filtre du second ordre modifier

Il existe un nombre important de structures permettant de synthétiser des filtres d'ordre deux, suivant le facteur de qualité désiré. Les plus simples et les plus utilisées sont les cellules de Sallen et Key (également appelées VCVS ou à source de tension commandée). Ces cellules peuvent avoir un facteur de qualité compris entre 2 et 20.

Filtre d'ordres supérieurs modifier

La synthèse de ces filtres se fait généralement par association en cascade de filtres d'ordre 2, tels que synthétisés dans le paragraphe précédent.

Bibliographie modifier

  • Paul Horowitz et Winfield Hill, Traité de l’électronique analogique et numérique [« The Art of Electronics »], vol. 1 : Techniques analogiques, Elektor, , 538 p. (ISBN 978-2-86661-070-8)

Notes modifier

  1. Philippe Réfrégier, Théorie du signal : Signal-Information-Fluctuations, Masson

Voir aussi modifier

Articles connexes modifier

Liens externes modifier