Espace lisse

Un espace vectoriel normé $(X,\Vert .\Vert )$ est dit lisse si, pour tout $u\in X\setminus \{0\}$ et tout $v\in X$, la fonction réelle d'une variable réelle

$t\mapsto \Vert u+tv\Vert$

est dérivable en 0.

Exemples

• L'espace ℝ muni de la valeur absolue est lisse.
• Tout espace préhilbertien est lisse.

Démonstration

Soit $(H,\Vert .\Vert )$ un espace préhilbertien (réel, par exemple) avec $\Vert .\Vert ={\sqrt {(.|.)}}$.

Pour tout $u\in H\setminus \{0\}$, tout $v\in H$ et tout $\varepsilon >0$ on a

${\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert ^{2}-\Vert u\Vert ^{2}}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon ^{2}\Vert v\Vert ^{2}+2\varepsilon (u|v)}{\varepsilon (\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert )}}={\frac {\varepsilon \Vert v\Vert ^{2}+2(u|v)}{\Vert u+\varepsilon v\Vert +\Vert u\Vert }}$

où l'on a utilisé les propriétés de bases d'un produit scalaire.

On a alors

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\Vert u+\varepsilon v\Vert -\Vert u\Vert }{\varepsilon }}={\frac {(u|v)}{\Vert u\Vert }}\in \mathbb {R}$

• Soient Ω un ouvert de ℝ^N et μ une mesure positive sur Ω. Pour 1 < p < ∞, l'espace L^p(Ω, μ) est lisse.
• L'espace L^∞([0, 1], λ), où λ désigne la mesure de Lebesgue, n'est pas lisse.

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Dérivée de Gateaux