Espace de Bergman

En analyse complexe, une branche des mathématiques, un espace de Bergman, nommé d'après Stefan Bergman, est un espace fonctionnel de fonctions holomorphes dans un domaine D du plan complexe qui ont un comportement suffisamment bon à la frontière pour qu'elles soient absolument intégrables. Plus précisément, $A^{p}(D)$ est l'espace des fonctions holomorphes dans D telles que la p-norme

$\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f(x+iy)|^{p}\,dx\,dy\right)^{1/p}<\infty .$

Donc $A^{p}(D)$ est le sous-espace des fonctions holomorphes qui sont dans l'espace L^p(D). Les espaces de Bergman sont des espaces de Banach, ce qui est une conséquence de l'estimation, valide sur les sous-ensembles compacts K de D:

$(1)\quad \sup _{z\in K}|f(z)|\leq C_{K}\|f\|_{L^{p}(D)}.$

Donc la convergence d'une suite de fonctions holomorphes dans L^p(D) implique alors la convergence sur tout compact, et ainsi la fonction limite est aussi holomorphe.

Si p = 2, alors $A^{p}(D)$ est un espace de Hilbert à noyau reproduisant, dont le noyau est donné par le noyau de Bergman.

Références

• (en) « Espace de Bergman », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

Source

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bergman space » (voir la liste des auteurs).