Un espace d’ordres est un concept mathématique qui généralise la notion d’ordre sur un ensemble. Il s’agit d’un couple formé d’un groupe multiplicatif d’exposant fini et d’un sous-ensemble fermé de son dual topologique qui vérifie certains axiomes.

Définitions modifier

On se donne un groupe multiplicatif d'exposant  , c’est-à-dire  , on a   (on note   le neutre).

On distingue un élément remarquable   de  , dit élément distingué. On munit   de la topologie discrète.

On note   le groupe topologique dual de  , qui est compact.

Par la nilpotence des éléments de   que   avec   vu comme groupe multiplicatif.

On se donne maintenant un sous-ensemble non vide  .

Le couple   est dit un pré-espace d'ordre si les trois axiomes suivants (« axiomes de Marshall ») sont vérifiés[1] :

    est un fermé de  

   

   .

L'axiome   est dit axiome de séparation, i.e.   sépare les éléments de  .

Exemples modifier

Dans le cas où   est le groupe multiplicatif  .

L'unique pré-espace d'ordre associé à ce groupe est l'espace trivial   constitué d'un seul élément.

Bibliographie modifier

  • (en) Carlos Andradas, Ludwig Bröcker et Jesus M. Ruiz, Constructible Sets in Real Geometry, Berlin/Heidelberg/New York, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete » (no 33), , 3e éd., 270 p. (ISBN 3-540-60451-0), p. 85-123, chapitre IV : Spaces of Orderings
  • (en) Murray A. Marshall, Spaces of Orderings and Abstract Real Spectra, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 1636),
  • (en) Murray Marshall, « Classification of Finite Spaces of Orderings », Canad. J. Math., vol. 31,‎ , p. 320-330 (lire en ligne)

Référence modifier