Enveloppe supérieure

En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.

DéfinitionModifier

L'enveloppe supérieure d'une famille   d'applications d'un ensemble   dans la droite réelle achevée   est l'application

 .

La notation   est justifiée par le fait[1] que l'enveloppe supérieure de la famille   n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet[2]   des applications de   dans  .

PropriétésModifier

  • Avec les notations précédentes, l'épigraphe[3] de l'enveloppe supérieure de la famille   est l'intersection des épigraphes des   :
     .
    On en déduit que :
    •   est convexe si   est un -espace vectoriel et si les   sont convexes ;
    •   est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si   est un espace topologique et si les   sont fermées.
  • Soit   un espace localement convexe séparé. Une fonction de   dans   est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues[4].

Notes et référencesModifier

  1. N. Bourbaki, Topologie générale, (lire en ligne), p. IV.21.
  2. L'ordre naturel sur   est l'ordre produit :  .
  3. L'épigraphe d'une application   est l'ensemble  .
  4. (en) Charalambos D. Aliprantis et Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1999) (lire en ligne), p. 251.

BibliographieModifier