Si vous disposez d'ouvrages ou d'articles de référence ou si vous connaissez des sites web de qualité traitant du thème abordé ici, merci de compléter l'article en donnant les références utiles à sa vérifiabilité et en les liant à la section « Notes et références ».
Le n-ième moment est défini par l'espérance de Xn :
La série de droite est une représentation de la fonction zêta de Riemann et converge seulement pour les valeurs de s-n strictement supérieures à 1. Ainsi :
Soit A une partie de , on dit que A a une densité naturelle si converge. Notons d(A) la limite. On a alors le résultat suivant :
Démonstration
Soit , posons pour tout
on a par hypothèse que , donc on peut poser tel que
On écrit alors
On s'intéresse au terme , on a : car la variable muette a est supérieure à
Sans nuire à la généralité, supposons A infini (le cas A fini est trivial), écrivons alors . Il s'ensuit alors que pour . posons alors
On a donc , d'où
On fait alors de même à gauche et on trouve pour s assez proche de 1 que , ainsi :