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Bonnes contributions ! Serein 7 janvier 2011 à 18:01 (CET)

Produit scalaire en physique

Là on parle du produit scalaire que définit le second contrôleur (pour le premier contrôleur voir plus bas). Plus précisément du "produit scalaire euclidien usuel" dans R^n que définit le second contrôleur pour "modéliser les angles".

Je ne comprends pourquoi vous insistez pour tout ramener à R^n, alors que justement vous semblez vouloir trouver des propriétés intrinsèques de l'espace. R^n ne va certainement pas nous aider. On a (en galiléen) a minima un ev. de dim 3 pour modéliser les directions de l'espace. Reste à savoir si des axiomes supplémentaires sont nécessaires et si oui lesquelles (produit scalaire ou autre).

Ce produit scalaire euclidien n'existe pas dans les espaces de fonctions comme L^2 par exemple, mais le produit scalaire de L^2 donne bien l'orthogonalité (de la base de Fourier par exemple). Et même dans R^n, l'orthogonalité euclidienne n'est pas toujours celle souhaité : exemple de l'orthogalité pour un produit scalaire elliptique, voir ci-dessous.

Oui et ? Quand ai-je dit que le produit scalaire de R^n s'appliquait à L^2 ? Encore une fois je pense que l'usage meme de R^3 (ou R^4) quand vous parlez de physique est inadapté, donc le produit scalaire de R^n j'en ai pas dit grand chose jusqu'à présent...

Oui, c'est pour cela qu'on ajoute l'outil produit scalaire dans un espace vectoriel, et qu'ici on ne veut pas qu'un "cercle" soit déformé en tournant. Mais un cercle "vu de profil" est une ellipse, et pour ne pas le déformer en tournant on utilise le produit scalaire adequat (elliptique avec ses directions conjuguées = orthogonales pour le produit scalaire elliptique, directions qui deviennent orthogonales euclidiennes pour le cercle "vu de dessus").

Je ne sais pas ce que vous nommez "produit scalaire eliptique". J'ai bien sur mon idée mais je pense que cette terminologie est trompeuse. Par ailleurs toute référence à des histoires de "vu (de profil, de dessus)" me semble douteuse : on a l'impression que parler d'espace reviendrait à considérer des problèmes d'illusions d'optiques...

oui, comme un produit scalaire elliptique par exemple. Mais ce sont les angles (comparer des directions) et non les longueurs dont il est question.

Non je me suis mal fait comprendre. Quand je parlais de direction comparable, je voulais dire avoir un outil qui indique si deux vecteurs non colinéaires sont, informellement parlant, "de même longueur". Si vous voulez que l'on pose les choses trés formellement cela revient à définir un certain préordre $\triangleleft$ sur mon espace vectoriel qui donne sens à la relation "est de longueur inférieure ou égale à" (préordre vérifiant bien sûr un certain nombre de contraintes). Donc ce n'est pas qu'une question d'angle. Notez bien qu'avec ce préodre je n'associe pas explicitement de "longueur" (= de norme) à un vecteur donné mais je peux quand même dire si l'un est "plus long" qu'un autre.

C'est ce que je m'efforce de faire comprendre : un produit scalaire prend en entrée 2 vecteurs (à comparer) pour donner une valeur.

Oui ? Et donc ? Ou voulez vous en venir ?

La notion d'angle "absolu", je ne sais pas ce que c'est

Intrinsèque si vous préférez. Plus explicitement, qui puisse être considérer comme une propriété de l'espace physique et pas dépendante d'un observateur ou d'un choix pratique de modélisation.

Par exemple l'orthogonalité n'a de sens que si on s'est au prélable donné un produit scalaire (euclien, elliptique, L^2...) et est définie par : deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. Il faut donc s'être donné au préalable un produit scalaire. Il faut donc avoir modélisé l'espace.

Oui et donc ? Ca ne va pas plutot dans mon sens ça ? Je considère que si je conçois qu'il existe une orthogonalité spaciale universelle (indépendante de l'obervateur, tout le monde doit pouvoir se mettre d'accord si tel angle est droit ou non) c'est qu'elle découle d'un produit scalaire préexistant. Je ne définis jamais ce produit scalaire : je le constate. Il est un axiome de la modélisation galiléenne.

1- Exemple d'"extraction" pour le premier contrôleur. Il se donne un outil supplémentaire = le produit scalaire g dans $T_{2}^{0}(E)$, pour lequel il veut retrouver ses longueurs (un pied et un NM). Donc on prend un objet de référence modélisé par e_i, on définit g tel que g(e_i,e_i)=1 (ici "pied" pour e_3 et "NM" pour e_1 et e_2), et on dispose du produit scalaire $g=\sum _{i}e^{i}\otimes e^{i}$ (outil adapté au premier contrôleur).

Pas d'accord ! Si le mille nautique (ou plutot un objet de longueur 1 mille nautique) est utilisé pour mesurer à la fois e_1 et e_2 qui sont des vecteurs de directions différentes, c'est que cet objet de référence a forcément été tourné = qu'il a déjà subit une rotation et donc que la rotation fait dejà sens. Autrement dit pour créer votre produit scalaire vous supposez déjà implicitement l'existence d'un autre produit scalaire (ou au moins de qqch de trés proche). Dans un monde sans produit scalaire (mais qui reste quand même isotrope) vous ne savez pas donné a priori de sens à la phrase "e_1 est de longueur 1 pied et e_2 est de longueur 1 pied" parce qu'il n'y a pas de procédure de comparaison entre des objets qui s'étendent dans différentes directions.

2- Exemple d'"extraction" pour le second contrôleur. Lui souhaite l'orthogonalité "euclidienne usuelle" (il ne s'intéresse qu'aux angles).

Si vous supposez qu'il y a une orthogonalité "euclidienne usuelle" qui se distingues parmis les autres c'est donc que dans l'espace physique 3D tous les produits scalaires que je pourrais former ne sont pas équivalent. Certains ont moins de pertinence physique.

Encore une fois je suis d'accord que plaquer un produit scalaire sur l'espace des déplacements est une surmodélisation car elle désigne arbitrairement certains vecteurs comme unitaires. Nous n'avons pas besoin de cette notion de vecteurs de déplacement unitaire. Mais encore une fois nous voulons cependant conserver l'information qu'ils ont la "même longueur". Et on peut se débarrasser de ce problème en définissant le produit scalaire physique (je dis bien LE et pas UN) sur un autre ev que celui des déplacements.--Burakumin (d) 23 janvier 2012 à 18:08 (CET)