Discussion:Théorie du transport
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Appelation modifier
L'appelation usuelle que je connais pour cette théorie est "Transport optimal". Pourrait-on mettre une redirection vers cette page à partir de ce nom? Tombolo (d) 14 novembre 2011 à 22:43 (CET)
L'appellation commune n'est pas devenue justement "Théorie du transport optimal"? Je suis d'avis de changer carrément le titre de cette page. David Tewodrose (discuter) 27 août 2016 à 01:27 (CEST)
lien vers Inégalité de réarrangement modifier
J'ai ajouté un lien vers lien vers Inégalité de réarrangement, car il y a un lien, à mon avis éclairant, voir en particulier la section Inégalité de réarrangement#Distance de Wasserstein L2. Ceci dit, je ne m'accroche pas mordicus à cet ajout, qui me semble pourtant utile du point de vue de la vulgarisation. En particulier, je ne sais pas si on peut vraiment fabriquer une démonstration de la solution du problème de transport du type Wasserstein L2 en adaptant la démonstration de l'inégalité de réarrangement, ou bien en passant à la limite. Chassaing 15 août 2009 à 23:58 (CEST)
Une illustration modifier
J'ai illustré la définition de T, par une figure. est-ce correct? Pierre de Lyon (discuter) 25 avril 2022 à 10:10 (CEST)
- Bonjour, oui je pense que c'est une illustration correcte d'une application de transport. Zoroastre101 (discuter) 25 avril 2022 à 13:26 (CEST)
- Très bien ! Je ne suis pas le seul à penser qu'un dessin remplace de longues explications. --Pierre de Lyon (discuter) 25 avril 2022 à 15:25 (CEST)
"Le" ou "un" modifier
Je ne suis pas spécialiste du sujet. Mais il est dit dans l'article « On désire trouver le plan de transport optimal ». Ne devrait-on pas dire « un plan de transport optimal », car je doute qu'il y ait unicité de l'optimal. Est-ce que je me trompe ? Pierre de Lyon (discuter) 25 avril 2022 à 10:15 (CEST)
- Oui, si l'on veut respecter l'usage mathématique, il faut parler d'un plan de transport optimal. Vous avez raison, en toute généralité, il n'y a pas d'unicité du plan de transport. L'article en anglais fait la même erreur.
- Je m'attelle à des améliorations de l'article dans la semaine, j'ai des sources à mobiliser. Zoroastre101 (discuter) 25 avril 2022 à 13:28 (CEST)
- Bon courage ! --Pierre de Lyon (discuter) 25 avril 2022 à 15:25 (CEST)
Début ébauche histoire du transport modifier
Bonjour à tous,
Dans le projet d'améliorer l'article, j'ai essayé d'écrire une section "histoire" du transport optimal. J'espère que je ne suis pas rentré dans trop de détails pour les non-initiés, et que j'ai respecté le style encyclopédique. J'ai sourcé et fait des renvois vers les pages wikipédias pertinentes, par contre il faudra que j'améliore les sources, j'ai tout listé comme "ouvrage" pour l'instant, et il y a des documents accessibles en ligne, je mettrai l'URL. Ou alors une bonne âme peut le faire, je regarde la semaine prochaine sinon. Je vous copie colle mon brouillon de ma page perso.
Cdlt, Zoroastre
- Je pense qu'il faut mettre la section Motivation avant la section Histoire, sinon, cette section n'est pas compréhensible si l'on se sait pas ce qu'est le transport optimal. D'autant plus que, personnellement, je ne vois pas les justifications de la formulation proposée, à la place d'une formulation fondée sur la théorie des graphes. --Pierre de Lyon (discuter) 5 mai 2022 à 09:47 (CEST)
Histoire modifier
La formulation de Monge[1] modifier
Le problème du transport optimal est formalisé pour la première fois par le mathématicien français Gaspard Monge en 1781, dans un Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais destiné à l'Académie des Sciences[2]. Dans cet ouvrage, il considère la question du déplacement d'une quantité de terre, appelée déblai, vers un espace qu'elles doivent occuper après le transport, appelé remblai. En considérant un coût de transport proportionnel à la masse déplacée ainsi qu'à la distance parcourue, il conjecture que tous les déplacements ne résulteront pas en un même coût total. Monge affirme de plus que parmi tous ces transports possibles, il en existe un, appelé transport optimal, pour lequel le coût total sera minimum. Contrairement à ce qu'il annonce, la preuve de l'existence et de l'unicité d'un tel transport n'est pas donnée dans son mémoire. Malgré quelques avancées réalisées par le mathématicien français Charles Dupin dans un mémoire de 1822[3], le problème ne connaît pas de développements importants pendant presque cent ans. En 1884, l'Académie des Sciences propose un prix à quiconque obtiendra des avancées majeures sur la question du transport optimal. C'est le mathématicien français Paul Appell qui remporte 2000 des 3000 francs proposés en 1886. Il publie en 1887 un mémoire sur ses travaux[4], dans lesquels la question de l'existence n'est toujours pas clairement formulée ni résolue.
La relaxation de Kantorovitch[5] modifier
Le mathématicien et économiste russe Leonid Kantorovitch est un des inventeurs du concept d'optimisation linéaire dans les années 1930. Cette théorie le conduit à s'intéresser au problème de transport optimal. Durant la Seconde Guerre Mondiale, il propose une formulation plus générale du problème de Monge, en n'imposant pas que le transport des masses soit nécessairement décrit par une fonction, mais plutôt par une mesure appelée plan de transport. Dans ce cadre, Kantorovich parvient à obtenir l'existence et l'unicité d'un plan de transport optimal, avec des hypothèses très faibles sur le coût de transport et la répartition des masses à transporter et des espaces les accueillant[6]. Le mathématicien russe V. N. Sudavok utilise les outils développés par son prédécesseur pour revenir au problème original de Monge, auquel il propose une solution en 1976[7]. Le mathématicien italien Luigi Ambrosio repère et corrige une erreur fondamentale dans l'argument de Sudakov en 2003[8], apportant une réponse jugée satisfaisante par la communauté mathématique à la question de l'existence et de l'unicité dans le problème de Monge.
Caractérisation et régularité[9] modifier
Dans les années 1990, le mathématicien français Yann Brenier réalise une avancée déterminante dans la caractérisation du problème pour le coût quadratique. Sous de faibles hypothèses de régularité, il montre que le transport se fait nécessairement via une fonction de transport qui est le gradient d'une fonction convexe[10]. Le mathématicien italien Luigi Cafferelli et. al. poursuit les travaux sur le coût quadratique et obtient en 2002 des résultats importants sur la régularité de la fonction de transport[11]. Poussant encore plus loin l'analyse du problème de transport, Ma, Trudinger et Wang établissent des propriétés de régularité de la fonction de transport en prenant des coûts \mathcal{C}^4 en 2005[12].
- Etienne Ghys, « Gaspard Monge, le mémoire sur les déblais et les remblais », sur Images des mathématiques, (consulté le )
- Gaspard Monge, Mémoire sur la théorie des déblais et de remblais. Histoire de l’Académie Royale des Sciences de Paris, avec les Mémoires de Mathématique et de Physique pour la même année, pages 666–704, 1781.
- Charles Dupin, Applications de géométrie et de méchanique : à la marine aux ponts et chaussées, etc., pour faire suite aux développements de géométrie,
- Paul Appell, Mémoire sur les déblais et les remblais de systèmes continus ou discontinus, Mémoires présentés par divers savants à l’Académie royale des sciences de l’Institut de France... Sciences mathématiques et physiques. 1827-1914 (2e s. I-XXXV),
- Yann Brenier, Thierry Viéville, « La brouette de Monge ou le transport optimal », sur Images de mathématiques, (consulté le )
- Leonid Kantorovitch, On the transfer of masses. Dokl. Acad. Nauk. USSR, 37, 7–8, 1942.
- V. N. Sudakov, Geometric problems in the theory of infinite-dimensional probability distributions. Cover to cover translation of Trudy Mat. Inst. Steklov 141 (1976). Proc. Steklov Inst. Math. 2, i–v, 1–178,
- L. Ambrosio, Lecture Notes on Optimal Transport Problems, Mathematical Aspects of Evolving Interfaces, Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics (1812), 1–52,
- F. Santambrogio, Optimal Transport for Applied Mathematicians,
- Yann Brenier, Décomposition polaire et réarrangement monotone des champs de vecteurs. (French) C. R. Acad. Sci. Paris. I Math. 305 (19), 805–808, 1987
- Luigi Caffarelli, Constructing optimal maps for Monge’s transport problem as a limit of strictly convex costs J. Amer. Math. Soc. 15, 1–26,
- Ma, Trundinger, Wang, Regularity of potential functions of the optimal transportation problem. Arch. Ration. Mech. Anal., 177 (2), 151–183,