Discussion:Spirale de Cotes

Cas d'une erreur à sources multiples

Que l'on prenne le site de Mathworld, le livre de Whittaker, A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies de 1904, p. 83, celui de Joseph Gallant, Doing Physics with Scientific Notebook, 2012, p. 281, celui de Nathaniel Grossman, The Sheer Joy of Celestial Mechanics, 1996,p. 34 on trouve toujours seulement trois types de solutions : l'épi, la poinsot bornée et l'hyperbolique. Il est des cas où un TI juste vaut mieux qu'une erreur multiplement sourcée. Heureusement que Dandy confirme, ainsi qu'une lecture laborieuse du latin de Cotes. il y a bien 5 cas (si on exclut le cercle et le mouvement rectiligne).

L'article de WP:en prend le parti pris d'expliquer au coeur de l'article que l'erreur provient de Whittaker et que l'erreur s'est propagée ensuite. Je pense qu'il faut éviter d'affirmer cela. Mais je crois qu'il faut quand même signaler en page de discussion le pb. HB (discuter) 6 décembre 2018 à 14:16 (CET)

TI pour les curieux

N.'ayant pas trouvé dans les sources comment déterminer simplement les paramètres des courbes en fonction des conditions initiales et en particulier comment distinguer les cas 1, 2, 3 de Cotes, j'ai poursuivi le travail en pur TI. Si quelqu'un trouve des sources pour ces résultats, il serait intéressant de les mettre (sans les calculs) dans le corps de l'article. On peut aussi les corriger en page de discussion.

En prenant comme condition initiale pour t = 0, θ ₀ = 0, r₀ et ${\dot {r_{0}}}$ et h fixés, le mouvement est complètement déterminé

Sur les trajectoires  : le cas Poinsot

On rappelle que $\omega ={\sqrt {\left|{\frac {\mu }{h^{2}}}-1\right|}}$

Comme $\mu >h^{2}$, u s'exprime comme combinaison linéaire de fonctions exponentielles ou de fonctions hyperboliques

$u=A\cosh(\omega \theta )+B\sinh(\omega \theta )={\frac {1}{r}}$

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \theta }}=A\omega \sinh(\omega \theta )+B\omega \cosh(\omega \theta )=-{\frac {\dot {r}}{h}}$

donnent

$A={\frac {1}{r_{0}}}$

$B=-{\frac {{\dot {r}}_{0}}{h\omega }}$

On sait que la spirale de Poinsot est de type borné si |A|> |B|, logarithmique si |A| = |B| et asymptotique si |A| < |B|. La forme de la trajectoire dépend donc du signe de B² - A²,

$B^{2}-A^{2}={\frac {1}{r_{0}^{2}}}\left({\dot {r}}_{0}-{\frac {h^{2}\omega ^{2}}{r_{0}^{2}}}\right)={\frac {1}{r_{0}^{2}}}\left({\dot {r_{0}}}-{\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}\right)$

Comme ${\frac {h^{2}}{r^{2}}}=(r{\dot {\theta }})^{2}$ et que ${\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\theta }})^{2}=v^{2}$

$B^{2}-A^{2}={\frac {2}{r_{0}^{2}}}\left({\frac {1}{2}}v_{0}^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu }{r^{2}}}\right)={\frac {2}{r_{0}^{2}}}E_{T}$

où E_T est l'énergie totale par unité de masse.. C'est une constante qui caractérise le mouvement.

• Si $v_{0}^{2}<{\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}$, |A| > |B|, la trajectoire est de type borné, la vitesse est trop faible pour une libération
• Si $v_{0}^{2}={\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}$, |A| = |B|, la trajectoire est une spirale logarithme
• Si $v_{0}^{2}>{\frac {\mu }{r_{0}^{2}}}$, |A| < |B|, la trajectoire est de type asymptotique,

sur la distance en fonction du temps

Dandy utilise l'énergie totale déja citée

$E_{T}={\frac {1}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+(r{\dot {\theta }})^{2}-{\frac {\mu }{r^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+{\frac {h^{2}-\mu }{r^{2}}}\right)$

Comme ${\ddot {r}}={\frac {h^{2}-\mu }{r^{3}}}$, il obtient

${\dot {r}}^{2}+r{\ddot {r}}=2E_{T}$

qu'il intègre deux fois pour obtenir r² en fonction de t

$r^{2}=2E_{T}t^{2}+2Bt+C$

et n'explicite ni B ($=r_{0}{\dot {r}}_{0}$), ni C (=r₀²)

Il remarque alors que, le premier membre étant positif, il est nécessaire que le second le soit.

Cela se discute en fonction du discriminant réduit qu'il n'explicite pas.

Il vaut $r_{0}^{2}{\dot {r}}_{0}^{2}-r_{0}^{2}{\dot {r}}_{0}^{2}-h^{2}+\mu$

On retrouve alors

• pour le type Poinsot ($\mu >h^{2}$),
  • pour Poinsot borné (E_T négatif), deux racines possibles t1 et t2, r croissant et décroissant entre deux intervalles de temps
  • pour la spirale logarithmique (E_T nul), une seule racine, un r croissant dans un intervalle de temps t1 à +oo, ou décroissant dans un intervalle de temps -oo, t1
  • pour Poinsot asymptotique (E_T négatif), deux racines t1 et t2 un r croissant dans un intervalle de temps t2 à +oo, ou décroissant dans un intervalle de temps -oo, t1
• pour le type hyperbolique ($\mu =h^{2}$), un racine double t1 un r croissant dans un intervalle de temps t1 à +oo, ou décroissant dans un intervalle de temps -oo, t1
• pour le type épi ($\mu <h^{2}$), un r décroissant puis croissant dans un intervalle de temps de -oo à + oo. le type épi comprend évidemment les mouvement à force centrifuge.