Discussion:Semi-continuité

~ Seb35 [^_^] 23 avril 2007 à 00:01 (CEST)

Effacement énormité !

Enlevé la phrase "La semi-continuité supérieure ou inférieure correspond à la continuité à droite ou à gauche pour les fonctions de R dans R." de l'introduction. Justement, il ne faut pas confondre ces deux notions apparemment proches ! L'article anglais fait bien le distinguo et bizarrement la traduction à préféré jouer la confusion... :(

PS : je rajoute ici les explication données à Seb35 sur sa page de discussion : Si E est la partie entière alors

• E(x) est càd et scs
• -E(x) est càd et sci
• E(-x) est càg et scs
• -E(-x) est càg et sci

Là-dessus tu vois que càg/càd et sci/scs ne sont pas corrélées.

S'il y a un lien à faire c'est en passant par les topologies latérales de R, engendrées par les intervalles semi-ouverts d'un côté ou de l'autre.

Merci de vos correction et explication, on pourrait d'ailleurs le mentionner dans l'article, soit avec votre exemple, soit l'exemple anglais. ~ Seb35 [^_^] 17 novembre 2007 à 09:25 (CET)

Bonjour, il me semble que les exemples suivants sont assez parlants, classiques et permettent de mieux appréhender la différence entre semi-continuité (propriété qui « vit » dans l'espace d'arrivée, qui doit être $\R$) et continuité à droite ou gauche (propriété qui « vit » dans l'espace de départ, qui doit être $\R$) :

• l'indicatrice de [0,1[ est continue à droite ;
• l'indicatrice de ]0,1] est continue à gauche ;
• l'indicatrice de ]0,1[ est semi-continue inférieurement ;
• l'indicatrice de [0,1] est semi-continue supérieurement.

La semi-continuité, ce n'est pas « à gauche » ou « à droite » mais « par en-dessous » ou « par au-dessus ». Ce qui précède est tiré de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,343381,343396 mais pourrait être rédigé par (presque) n'importe qui. [ajout du 13 mars 2015]

Erreur

Je crois que dans la phrase suivante il faut échanger fermé et ouvert : << La fonction indicatrice de tout ouvert est semi-continue supérieurement. La fonction indicatrice de tout fermé est semi-continue inférieurement. >> En effet, l'indicatrice du réel 0, par exemple est semi-continue supérieurement, puisque sa limsup en 0 (quand on exclut 0) est nulle, donc bien inférieure à sa valeur en 0 ; mais elle n'est pas semi-continue inférieurement, puisque sa liminf est aussi nulle, et que 0 < 1.

je viens de corriger l'erreur en questionJaclaf (d) 5 novembre 2008 à 13:00 (CET) --

Peut-être que cela aiderait à la compréhension de signaler en légende des deux graphiques à droite le rapprochement entre "supérieurement" et le fait que f(x_0) soit "en haut" d'une part, et "inférieurement" et le fait que f(x_0) soit "en bas" d'autre part.

B.

Effacement d'une propriété bizarre

J'efface la propriété ajoutée par Seb35 le 23 avril 2007 : "On peut démontrer que, dans un espace de Banach $E~$, pour les fonctions $f:E\to ]-\infty ,+\infty ]$, convexes, de domaine $Dom(f)=\{x\in E:f(x)<+\infty \}$ non vide et semi-continues supérieurement, $f~$ est continue en $x~$ si et seulement si $x\in {\stackrel {\ \circ }{(Dom(f))}}$(Int)."

Car

• on peut remplacer espace de Banach par espace localement convexe (pas nécessairement complet),
• on peut supprimer le (Int) final (puisque si f est s.c.s. alors $Dom(f)$ est ouvert),
• l'implication de droite à gauche est plutôt une propriété de la convexité : si f est convexe et majorée au voisinage de x alors elle est continue en x (cf exercice A29 de : Claude Wagschal, Analyse fonctionnelle, Exercices et problèmes corrigés, 1995, Hermann)
• l'implication de gauche à droite est fausse.

Anne Bauval (d) 8 décembre 2009 à 00:55 (CET)

Longueur d'un arc

La longueur d'un arc est un exemple classique assez naturel de fonction semi-continue. Est-ce une bonne idée de l'avoir mentionné dans cet article ? L'ensemble X des fonctions lipschitziennes d'origine 0 et de longueur inférieure à R est fermé pour la topologie $C^{0,1}$.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 10 décembre 2009 à 16:42 (CET)

Quelques remarques

Il me semble peu utile (au minimum) de commencer l'article par des exemples sans avoir donné aucune définition et même aucune idée de ce qu'est une application sci ou scs. Ceci d'autant plus que les graphiques illustreraient bien plutôt les notions de continuité à gauche et à droite ! Tout cela risque plutôt d'entraîner la confusion (on ne sait même pas à ce moment quels doivent être les ensembles de définition ou images des fonctions !).

De même le paragraphe suivant "longueur" arrive comme un cheveu sur la soupe alors qu'on est encore en plein brouillard !

On ne sait pas trop si on traite de la semi continuité en un point ou sur l'ensemble de définition... Tout semble se mélanger...

A mon humble avis l'article serait à reprendre entièrement

--Pedestre (d) 11 octobre 2012 à 11:26 (CEST)