Discussion:Racine évidente
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| Avancement | Importance | pour le projet | |
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| Bon début | À évaluer |  | Mathématiques (discussion • critères • liste • stats • hist. • comité • stats vues) |
Cet article comporte une liste de tâches suggérées :
Désolé pour cette présentation en format txt. Je pense qu'il y a peu de chance de trouver une référence car la partie suspectée (le 3) est du genre "pratiquer sur des exemples" (indispensable sur un tel sujet). Cette partie ne comporte pas d'erreur à corriger, peut être faut il juste préciser un peu. Pour compléter l'article :
-) P(x) désignera un polynôme de degré supérieur ou égal à 1, (à coefficients réels, ou complexes ). La notation x^n désigne x puissance n .
-) Une remarque simple, mais utile pour donner sens à ce qui suit : soit P(x) à coefficients rationnels (présentés sous forme d'entiers ou de fractions irréductibles) et M le PPCM des dénominateurs présents. On pose H(x) = M.P(x). Le polynôme H(x) est à coefficients entiers, tout en ayant les mêmes racines que P(x) avec les mêmes ordres respectifs.
-) Désormais b est un entier fixé (non carré d'un entier) et h est la racine carrée de b (h^2 = b). Par une propriété classique, h est un nombre irrationnel. On suppose que chacun des coefficients de P(x) est rationnel ou est de forme u.h, où u est rationnel. Il en résulte aussitôt que P(x) = h.N(x)+M(x), où N(x) et M(x) sont des polynômes à coefficients rationnels (avec deux cas particuliers possibles : N=0 ou M=0). Supposons qu'il existe un rationnel r tel que P(r) = 0. (autrement dit r est une racine rationnelle de P(x) ). Si on suppose que N(r) est non nul, on a alors h = -M(r)/N(r) , et dès lors h est rationnel, ce qui est faux. On a donc N(r) = 0, et donc M(r) = 0. Compte tenu de la remarque ci dessus, la méthode pour les polynômes à coefficients entiers s'applique à N(x) et M(x) . Un rationnel r est racine de P(x) si et seulement si il est racine commune à N(x) et M(x).
-) Toujours dans le cas où chacun des coefficients de P(x) est rationnel ou est de forme u.h, où u est rationnel, le changement de variable x = h.z permet d'écrire P(x) = A(z) . Il est clair que A(z) est lui aussi un polynôme à coefficients rationnels ou de forme u.h, ( a.x^n = a.h^n.z^n, et a.h^n est rationnel ou de forme u.h) Les deux cas évoqués dans l'article sont ceux ou tous les coefficients de A(z) sont rationnels, ou au contraire tous de forme u.h. En précisant un peu plus : Cas1 : tous les coefficients d'indice pairs de P(x) sont rationnels, tous ceux d'indice impairs sont de forme u.h ,comme dans l'exemple numérique traité. Cas2 : tous les coefficients d'indice impairs de P(x) sont rationnels, tous ceux d'indice pairs sont de forme u.h , on mettra h en facteur.
-) Pour le changement de variable x = i.z (i complexe, i^2 = -1, z réel), la démarche est la même. Pour terminer on utilise de fait la propriété : A(z) = 0 si et seulement si Re( A(z) ) = 0 et Im( A(z) ) = 0 .
-) Dernière remarque, dans le cas où P(x) est à coefficients réels, même si ils ne sont pas tous rationnels, il peut être intéressant de chercher une racine évidente sous forme t.i, où t est un réel
--Rdvn-ct (discuter) 24 juin 2018 à 22:07 (CEST)--Rdvn-ct (discuter) 24 juin 2018 à 22:07 (CEST)
Lien avec le critère d'Eisenstein modifier
Je vois pas de quelle manière le critère d'Eisenstein pourrait apparaître comme « une généralisation » ou « une variante moins simple » du test pour les racines rationnelles, ni même quel théorème pourrait généraliser simultanément ces deux-là. Anne, 23/9/2017