Discussion:Résolution de l'équation de Kepler

ne pas surcharger mouvement keplerien

--Guerinsylvie 6 mai 2006 à 12:51 (CEST) je conçois que mouvement keplerien soit trop lourd. Je vais dégager ailleurs tout ce qui est perturbation. Ici , je vais essayer de rédiger un résumé de qq livres et articles sur la KE ( Kepler's equation). Wikialement sylvie.

Delphine et Marinette

--Guerinsylvie 6 mai 2006 à 16:32 (CEST) Ce texte m'a été suggéré par un problème de terminale portant sur Spot1( 1986). Merci à celle qui a posé ce joli thème de reflexion. Le nom Delphine et Mariner est tout à fait farfelu : celui du CNES est guiding center , mais il n'y a pas d'adiabaticité ici. Donc nous ne le choisirons pas. Voici donc :

Dans beaucoup d'applications ( soit pour les planètes autour du Soleil , soit pour les satellites artificiels), l'excentricité de la trajectoire est faible, elle sera prise ici égale à 0.1 . Il est alors intéressant de savoir décrire le mouvement comme un mouvement circulaire légèrement perturbé.

Les trois lois de Kepler sont supposées connues.La Terre est supposée sphérique de centre O, de champ de gravité central -g .R²/r², d'après le théorème de Newton-Gauss.

Le mouvement du premier satellite, Delphine, est circulaire uniforme de rayon a.Tracer la figure de la trajectoire avec pour échelle a := 10 cm. La pulsation w est donc telle que w² a³ = gR² (vérifier l'homogénéité).

Le mouvement du deuxième satellite, M, est elliptique d'excentricité e=0.1 . Au temps initial t = 0, M est à son périgée P et O,P,D sont alignés.L'ellipse de M a même grand axe 2a que celle de D. Tracer au mieux (la méthode affine, la méthode par directrice,la méthode du jardinier , la méthode de La Hire, ou la méthode des cercles de courbure,...) la trajectoire de M et constater sa très faible différence avec le cercle de centre C , centre de l'ellipse , et de rayon a. On appelle O' le deuxième foyer de l'ellipse.

Au bout d'une demi-période, montrer qu'à l'apogée A du satellite M , A ,D et O sont alignés dans cet ordre.

Conclure d'après la loi des aires , que l'angle (OD,OM) est toujours positif dans la première moitié du mouvement.

Justifier pourquoi, pour la deuxième demi-période, il est inutile de reprendre les raisonnements.

Voici maintenant la solution (S1) de Ptolémée ( dans l'Almageste , 200JC): Pour simplifier les notations nous associons au point M (x,y) l'affixe z = x+ i y .

L'affixe de D est donc z = a exp(iwt). On trace le cercle de centre C et de rayon a. Puis de O', on mène la parallèle à OD qui coupe le cercle en M.

Voici maintenant la solution (S2), améliorée, de Ptolémée : L'affixe de D est toujours z = a exp (i wt). l'affixe de M est z = [a + ae/2] exp(iwt) -3ae/2 .exp(-iwt). Montrer que cette solution convient bien au périgée P et à l'apogée A , et décrit qualitativement l'avance de M sur D au début du mouvement.Montrer que cette avance est maximum quand OMD = 90°.

Évidemment aucune de ces 2 solutions M1 et M2 n'est correcte, puisque la solution correcte est celle de Kepler. Le problème est d'apprécier quel est l'écart angulaire A1 = M1OM et A2 = M2OM . A l'époque de Kepler (1609), les résultats de Tycho Brahé étaient précis à la minute d'angle près, à chaque date.

Les calculs de développements approchés donnent :

• OM/a = 1 - e cos wt +e²/2(1- cos(2wt)) + 3/8e³[cos(wt)-cos(3wt)] + 1/3e⁴[cos(2wt)-cos(4wt)]+ O(e⁵)

• angle POM = θ(t) = wt +2e sin(wt) +5/2 e² sin(2wt) + e³[13/12sin(3wt) -1/4 sin (wt)] +e⁴ [103/96 sin (4wt) -11/24 sin(2wt)] + O(e⁵).

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Après que la première loi de Kepler fût admise, Curtz proposa(1626) de prendre la solution (S1) de Ptolémée, mais avec M3 appartenant à la vrai ellipse: est-ce une meilleure approximation?

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Enfin , voici la solution de Horrocks(1638) : Translater Delphine de (-2c,0) en D' , et prendre anomalie excentrique E =~(CP,CD'). En déduire graphiquement M .Cette approximation est par excès de (1/6)e³sin³M.

Kepler faisait-il mieux en résolvant son équation E-e sinE = wt, en double itération?

Sachant que la bonne méthode est de résoudre E tel que wt = E - e sinE ( Kepler's equation), montrer que la méthode de Newton est obtenue en itérant E(n+1) = E(n) - [E(n) -e sinE(n) -M]/ [1-e cosE(n)] comment choisir la première valeur de E(0) mieux qu'en prenant wt ?

Horrocks

--Guerinsylvie 6 mai 2006 à 20:36 (CEST)J'ai un faible pour ce jeune homme si génial : voici sa solution (1638): Translater Delphine de (-2c,0) en D' et prendre E = angle (CP,CD').

On montre que E(Horrocks) = M + e/1sin M +e²/2 sin 2M +e³/3sin3M +... et E(H) -E = 1/6 .e³sin³M ; pas mal!

Cauchy et convergence de la série

Avant Cauchy, on se souciait peu de rigueur. Mais là , la coupe débordait ! La série de Fourier converge quelle que soit l'excentricité e , mais pas la série en puissance de e : il suffisait donc de réarranger les termes pour que le résultat change!

Cauchy vînt et y mît bon ordre : pour cela il créa un vaste et féconde théorie : celle des fonctions holomorphes.

• Le calcul indiqué a été formulé sans utiliser la trigonométrie hyperbolique puisque plusieurs fois il a été demandé de simplifier cet article, et en particulier de ne pas donner les démonstrations : il s'agit ici d'une encyclopédie , pas d'un cours.

• néanmoins, la version la plus simple, pour ceux qui connaissent les fonctions cosh x et sinh x, est :

$\ e<e_{o}=max(x/coshx)=1/\sinh(x_{o})$, avec tanh(xo) = 1/xo.

• la démonstration la plus facile s'appuie sur le théorème de Eugène Rouché (1832-1910) ,donné en 1862.

wikialement sylvie