Discussion:Paradoxe de Banach-Tarski

Symétrie planaire

Suite a une modification par "82.226.14.127", qui a remplacé "symetrie" par "symetrie planaire", je pose la question de savoir ce qu'il a voulu dire par la... s'il passe par la ! Jobert 21 mai 2006 à 14:48 (CEST)

proposition

Dans la partie Enoncé plus précis du paradoxe, il ne faudrait pas préciser que les suites finies (H_n) et (F_n) sont composées d'éléments deux à deux disjoints ? (Sinon, le résultat ne serait pas aussi paradoxal)

Sphère ou Boule

L’énoncé donné ici traite de la boule. La démonstration que je connais (qui est tirée d’ailleurs d’un des liens de Wikipedia) utilise plutôt la Sphére (avec un rayon r>0). Il est facile de traiter le cas de la boule à partir de la sphère en considérant des segments partant du centre jusqu’à la sphère. Cependant, il faut encore une dernière pirouette pour prendre en compte l’origine. C’est à confirmer, mais indiquer le théorème pour la sphère me semble aussi intéressant.Sedrikov (d)

R/R ou R/Q

Mail reçu de Utilisateur:Jobert excusez moi de vous demander pardon de vous deranger.. j'ai vu que vous aviez modifié la page sur le paradoxe de banach et tarski en croyant y deceler une faute de frappe... sauf erreur de ma part, l'enoncé etait correct : je voulais bien parler de l'ensemble IR/R, a savoir l'ensemble des réels quotienté par la relation d'équivalence R définie au dessus par xRy ssi x-y € Q( autrement dit, l'ensemble des classes d'equivalence de la relation R ). je sais qu'en algebre, la notation G/H sous entend G/R avec R une relation definie par x.y^-1 € H, mais j'ai preféré ecrire cette relation explicitement, pour qui ne serait pas familier avec cette notation.. je pense que le public qui a acces a la notion de relation d'equivalence est plus large que celui qui maitrise la theorie des groupes. si vous voyez la moindre objection a ce raisonnement, n'hesitez pas a m'en faire part.

merci !!

Ma réponse, je suis personnellement moins habitué à cette notation, j'ai donc cru à une faute de frappe. Elle ne m'a géné en rien dans la compréhension de l'article. La notation que vous proposez est amha parfaitement correcte cohérente et irréprochable. J'y suis moins habitué, c'est pour cela que j'y ai vu une faute de frappe. Je ne partage pas votre optimisme sur les lecteurs d'un tel article, s'il n'est pas habitué au quotien algébrique, il aura bien de mal à comprendre l'article. Mais je ne crois pas que ma notation simplifie grandement la compréhension. Voilà une bien légère objection. Soit vous êtes convaincu et je vous laisse modifier, soit vous ne l'êtes pas vraiment (comme moi d'ailleurs) alors je vous en prie, laissons tel quel. Jean-Luc W 5 avril 2006 à 16:14 (CEST) Un bien bel article, par ailleurs!

je pensais qu'elle etait plus claire dans la mesure ou je definissais la relation d'equivalence R au prealable. mais nous pouvons mettre les 2, je vais essayer ca. Je vous signale au passage que j'ai vu cette definition en 2e annee de DEUG, bien avant d'entendre parler de groupes quotient.. je considere que la notation R/Q n'est qu'une maniere de sous entendre la relation d'equivalence associée. je me dis simplement qu'il vaut peut etre mieux l'expliciter !Jobert 5 avril 2006 à 21:08 (CEST)

Personnellement, je pense que nommer cette relation R est un mauvais choix, car elle évoque bien trop ℝ, l’ensemble des réels. Je n’ai pas suivi quelles décisions ont été prises, mais si on veut parler de relation, autant nommer Q la relation Q(x,y) = x-y ∈ ℚ. L’espace devient alors ℝ/Q que les gens notent habituellement ℝ/ℚ. La confusion entre Q et ℚ me semble alors moins gênante. Sedrikov (d)

Attention

ce qui n'est pas dit dans cet article, c'est qu'il faut être en dim 3

il n'y a pas de paradoxe de Banach-Tarski dans le plan

c'est lié au fait (pour simplifier) que le groupe des rotations planes est commutatif mais pas celui des rotations de l'espace c'est très bien expliqué dans la 2e référence que j'ai donnée (de la Harpe) il faut aussi faire intervenir la différence subtile entre mesure finiment additive et mesure dénombrablement additiveJaclaf 28 février 2007 à 17:17 (CET)

Paradoxe et physique

La remarque selon laquelle le découpage dans le monde physique n'est pas possible à cause de la taille des atomes, m'a un peu amusé, car je pense qu'il y a un problème bien plus fondamental: celui de construction théorique de l'ensemble:

même s'il existait un appareil aussi précis que l'on voudrait (plus précis que l'atome, les quarks, etc...), on serait bien en peine de le programmer, le vrai problème est l'axiome du choix, pas l'épaisseur des morceaux! Sedrikov (d) 18 janvier 2010 à 17:43 (CET)

Et l'axiome du choix ?

Ce pauvre David n'y est pour rien, mais de fait cette question est bien compliquée... D'abord, le résultat repose surtout sur la non commutativité du groupe des rotations en 3D, et accessoirement sur une forme assez faible de l'axiome du choix, mais cette dernière est tout de même nécessaire : Hann-Banach et Banach-Tarski sont non démontrables dans ZF et tout ce qu'on peut y démontrer, c'est leur force relative (HB ->BT, mais pas l'inverse). Ces résultats et leur références sont donnés dans l'article sur Hahn-Banach, et bien plus détaillés dans l'article anglais. David Madore se contente de signaler que Babach-Tarski est indémontrable dans ZF, et pour ce qu'il veut faire, c'est bien suffisant Dfeldmann (discuter) 20 mars 2024 à 21:29 (CET)