Discussion:Longueur d'un arc

Cet article n'a pas de définition de la longueur d'un arc. Il commence par la description intuitive de la longueur d'arc. Il faudrait rectifier cela.Dirac 28 février 2006 à 13:02 (CET)

L'emploi du mot «rectifier» est assez cocasse ici :). J'ai modifié l'accroche et les transitions, mis plus en évidence la «vraie définition» (pour un mathématicien, donc forcément sans unité). Peux-tu me dire si les retouches te semblent suffisantes, ou as-tu des ajouts à proposer ? Peps 28 février 2006 à 14:03 (CET)

Besoin de votre aide Peps

Je me permets une intrusion sur ce forum afin de savoir si vous pourriez m'aider quant au calcul de la longeur d'une spirale. Novice en la matiere, j'utilise winplot et ai tracé 2 spirales de meme centre mais de rayons de courbure différents. Je souhaite faire apparaitre sur ces deux spirales un point ayant la meme longueur depuis le (même) centre de chaque spirale, de sorte a ce que lorsqu'on rapproche ces deux spirales, les deux points coincident. Je cherche en fait les coordonnées de ces deux points pour une (ou plusieurs) longueur bien definie... Comment faire? Je vous laisse mon adresse e-mail si vous pensez pouvoir m'aider. Merci d'avance: courriel@supprimé (pourquoi ?)

Suite du travail de Peps

Présenter comme moderne, la définition de la longueur d'un arc paramétré à l'aide de l'antique vision de Newton me semble une erreur. Cette formalisation de la longueur, à travers le calcul infinitésimal, a été définitivement abandonnée dès le XIX^e siècle pour deux bonnes raisons :

• Hilbert qualifiait cette vision de cancer de la pensée. Elle heurte en effet trop profondément la logique, dt est supposé être nul quand cela arrange le rédacteur, et non nul quand il s'agit de le mettre au dénominateur, ce que l'on appelait à l'époque un infiniment petit (le coté infiniment était avancé quand on souhaitait la nullité et le coté petit le reste du temps). Le fait que le résultat soit exact ne doit pas cacher la profonde faiblesse de la représentation mentale. On peut être beaucoup plus logique et plus simple depuis longtemps.

• Cette vision est restrictive, elle suppose que seuls seront mesurés les arcs continument dérivables à valeur dans un espace vectoriel. C'est bien restrictif, l'origine d'un arc n'est pas nécessairement une question de cinématique simple. Il peut aussi provenir d'une frontière d'une surface, ou encore de limite d'ensembles de R². Pour cette raison, j'ai mis en avant la définition de Jordan, reprise si fréquemment, par exemple dans le Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions].

D'autres faiblesses me semblaient dérangeantes. L'objet est de traiter la longueur d'un arc et non pas les changements de variables qui s'applique dans R³, une bonne partie des propos sont hors sujet. Enfin, prétendre que la longueur d'un arc demande nécessairement la maitrise du concept de tenseur métrique me semble vraiment trop étrange. Il est vrai que certaines variétés différentielles définissent la distance à l'aide de cet objet. C'est néanmoins un cas très particulier qui n'a aucune raison d'être plus mis en valeur qu'un autre. La notion de longueur d'un arc se définit de manière rigoureuse beaucoup plus simplement, ce type de variété différentielle n'est alors qu'un cas particulier d'application, avec une distance un peu sophistiquée. Jean-Luc W (d) 8 octobre 2008 à 13:09 (CEST)

Jordan ?

Il me semble que pour Jordan la longueur d'une courbe est la borne supérieure des longueurs des lignes polygonales inscrites. Ce point de vue a l'immense avantage d'être la généralisation directe de la démarche traditionnelle pour le périmètre du cercle. La formule "longueur = intégrale de la norme de la dérivée" dans le cas C1 devient un théorème. Je veux bien écrire la démo si je trouve un accord minimal pour cette démarche.

La longueur est finie si et seulement si le paramètrage est donné par des fonctions à variation bornée

En plus cette définition s'étend sans douleur aux espaces métriques quelconques Jaclaf (d) 31 octobre 2008 à 16:17 (CET)

Nous sommes d'accord je crois, l'article indique que :

• La longueur de l'arc C est la borne supérieure de l'ensemble des valeurs que prennent les longueurs des lignes polygonales de sommets les images d'un découpage de l'intervalle I.

Tu ne l'as peut être pas vu car je ne la présente qu'en quatrième partie, avec la démonstration idoine. Est-ce le bon choix de la placer si tard ? Je me suis dit qu'elle était très proche (mais un peu différente tout de même) de la première donnée (Pour d'Eudoxe Archimède, la question de la longueur d'un arc ne se pose que pour les courbes à concavité constante, la longueur est alors la limite des polygones de Jordan par le bas et des polygones encerclant la courbe par le haut). Je me suis aussi dit que pour les physiciens et le public pas trop théorique, l'approche par la différentielle est un peu plus pragmatique et mieux adaptée, d'où sa position.

La troisième raison du choix est qu'elle amène naturellement à la définition de Hausdorff, qui apporte une ouverture pour une théorie géométrique qui n'utilise que fort peu les outils différentiels. Mais l'approche par Hausdorff, plus riche est aussi plus lourde (cf la démo associée).

C'est un choix bien Cornélien, j'en ai conscience. Trouves tu mes arguments convaincants ? Jean-Luc W (d) 31 octobre 2008 à 19:00 (CET)

je suis très sensible à l'argument concernant les physiciens et le public pas trop théorique, donc pour commencer par l'approche par la différentielle se défend. Par contre je ne suis pas convaincu par ta démo : la majoration en h^2 suppose + ou - la fonction C2.

la partie "variété riemannienne, variations, Sobolev" devrait figurer dans un autre article (au nom de tes principes)

par ailleurs, Jordan donne sans douleur une information précieuse : la semi-continuité inférieure de la longueur pour la cv uniforme (assez intuitive : dans le contre-ex que tu donnes , comme dans tous ceux qu'on peut imaginer, la limite de la longueur est supérieure ) la longueur de la limite le pt de vue mesure de Hausdorff a son intérêt propre, mais ce résultat ne doit pas être facile dans ce cadre.

Jaclaf (d) 2 novembre 2008 à 21:42 (CET)

Trois remarques, trois coups au but. Cette fois ci, je suis totalement convaincu par chacun des propos. Jean-Luc W (d) 2 novembre 2008 à 23:07 (CET)

PS :Dans le cadre de Hausdorff, la semi-continuité inférieure n'est plus vérifiée. Pour s'en rendre compte, il faut évidemment construire une pseudo-courbe non continue, sinon Hausdorff et Jordan sont équivalents. Soit (q_n) une suite qui décrit toutes les valeurs rationnelles de [0,1] et une suite (u_n) de pseudo-courbes de [0,1] dans R construites de la manière suivante : La suite u₀ est constante et vaut q₀, la suite u₁ vaut q₀ sur [0, 1/2] et q₁ sur ]1/2, 1]. La suite u_n vaut q₀ en 0 et q_i sur ]1/(i-1), 1/i]. On remarque que la longueur au sens du contenu de Minkowski de la courbe u_n est nulle. Les graphes de ces courbes convergent vers l'ensemble [0,1], au sens de Hausdorff, et cette limite est de longueur 1 au sens du contenu de Minkowski. On a construit une suite qui fait un saut vers le haut. Jean-Luc W (d) 3 novembre 2008 à 15:25 (CET)

Jordan et Lebesgue

la démo de L = intégrale de $\vert f^{\prime }\vert$ est maintenant OK

pour la semi-continuité, on peut dire aussi que la longueur au sens de Jordan est la borne supérieure d'une famille de fonctions continues

enfin et surtout, cette discussion m'a conduit à rouvrir des grands classiques, et voici ce que j'en tire

la propriété d'être de longueur finie au sens de Jordan donne d'assez bonnes propriétés de régularité. Tout d'abord, les coordonnées sont des fonctions à variation bornée (conséquence directe de la définition) elles sont donc presque partout dérivables (on trouvera la preuve de ce résultat fondamental dû à Henri Lebesgue dans les toutes premières pages des "Leçons d'Analyse fonctionnelle" de Fredéric Riesz et Béla Sz.-Nagy), très beau livre que cette discussion m'a conduit à rouvrir.

Avec un peu plus de travail (même référence, Riesz et Nagy citent aussi les "leçons dur l'intégration" de Lebesgue, on arrive à montrer que longueur = intégrale de norme de f' (f désignant la fonction vectorielle de paramétrage) pour les courbes de Jordan.

Je ne me sens pas de reproduire cette démo (elle est d'ailleurs suffisamment longue et délicate pour figurer dans un autre article) mais cette propriété est très satisfaisante. En particulier, elle implique que la démo de l'inégalité isopérimétrique plane qui s'appuie sur l'inégalité de Wirtinger marche en toute généralité, puisqu'il suffit que f soit continue et f' L^2. Jaclaf (d) 5 novembre 2008 à 14:25 (CET)

Bonjour Jaclaf

A deux, c'est beaucoup plus facile de construire quelque chose de potable. L'apport principal que je vois dans l'idée que tu exprimes est celle de Sobolev. La fonction longueur d'un arc est continue de W^{1,p dans} L^p. Ce qui permet de prolonger la longueur dans W^{1,p. Ainsi, tout arc dont la dérivée au sens des distribution fait partie de} L^p possède une longueur que l'on peut définir à l'aide de la dérivée.

Dans le cas particulier de l'inégalité isopérimétrique, je suis plutôt parti sur la démonstration historique de Lagrange que sur l'astuce d'Hurwitz et l'inégalité de Wirtinger. A l'aide du calcul de variation, plus précisément d'un multiplicateur de Lagrange, il devient possible de construire une démonstration rigoureuse, maintenant disponible dans l'article multiplicateur de Lagrange.

Une fois encore, le manque d'article de fond de WP sur le sujet m'a poussé à rédiger une longue disgression sur Sobolev dans l'article multiplicateur de Lagrange. Je crois que pour obtenir un découpage convenable, il faut enrichir très largement l'article espace de Sobolev. Une fois cette étape franchie, rédiger les pièces encore manquantes au puzzle devient plus aisé. Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 10:43 (CET)

Attention : la démo de l'inégalité isopérimétrique avec multiplicateur de Lagrange ne manque pas d'intérêt, mais elle suppose la courbe C2, alors que Hurwitz et Steiner ont jsute besoin que la longueur soit finie Jaclaf (d) 6 novembre 2008 à 14:26 (CET)

J'ai pensé qu'il n'était pas sage d'alourdir la démonstration de manière inutile. Si tu regardes dans le détail, tu te rends compte que la propriété C² n'est pas utilisée dans ce cas particulier (tu utilises la forme de Beltrami, intégrale par rapport à l'équation d'Euler). Penses-tu que nous devrions préciser ? Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 15:41 (CET)

j'ai des choses à dire la dessus mais je préfère plus tard Jaclaf (d) 7 novembre 2008 à 14:22 (CET)

suggestions

cet article est beaucoup trop long et inhomogène il faudrait à mon avis

1) un article élémentaire "longueur d'une courbe", avec les polygones, la formule donnant la longueur dans le cas dérivable par morceaux et quelques exemples de calcul ; une démo directe du fait que "la droite est le chemin le pus court" et puis stop

ii) un article plus sophistiqué intitulé par ex "courbe rectifiable" essentiellement ce qui tourne autour de Jordan à la fin on cite des ex de courbes non rectifiables (Koch Peano) en pointant sur un autre article parlant de dim de Hausdorf et de fractale

le reste de l'article actuel est intéressant, mais n'est pas à la bonne place !

Jaclaf (d) 7 novembre 2008 à 14:22 (CET)

Le consensus entre nous promet d'être aisé, je partage non seulement ton analyse critique mais aussi les grandes lignes de tes remèdes. Jean-Luc W (d) 8 novembre 2008 à 13:13 (CET)

alors on s'y met. Ce que je propose :je remanie longueur d'un arc tu écris courbe rectifiable ce que je virerai de longueur d'arc sera mis (provisoirement ?) sur cette page avec un titre adéquat

qu'ne penses tu ?

remord tardif cet article est trop long touffu globalement ça ne va pas mais localement il y des choses bien si j'ose employer ce jargon conclusion : rebaptiser cet article courbe rectifiable puis en extraire la partie élémentaire et ex classique à mettre ds un article longueur d'une courbe remarque évidente : le titre peut et doiot être en lui-même une indication du niveau auquel on se place Jaclaf (d) 14 novembre 2008 à 11:37 (CET)

Jaclaf (d) 12 novembre 2008 à 10:11 (CET)

Bonjour Jaclaf

J'aurai tendance à nommer périmètre le premier article. Il me semble, après une petite enquête, qui n'a pas de fondement sérieux, que c'est essentiellement sous ce nom que la question de la longueur d'une courbe se pose pour la partie la plus vaste du public. Le public serait essentiellement ceux qui ne maitrisent pas la notion d'intégrale. J'imagine qu'il faut glisser dans ton plan le cas d'un polygone dont tous les angles sont d'un quart de tour. Ce cas particulier est fréquent dans les questions qui touchent à ce sujet. A mon avis, une petite partie historique ne serait pas superflu non plus. Deux ou trois lignes sur l'isopérimétrie ne serait pas un mal non plus. Il devrait toucher de l'ordre de 4000 à 5000 visites mois.

tout à fait d'accord il faut remanier l'actuel périmètre en partant des polygones

Le deuxième article peut parfaitement s'appeler longueur d'une courbe. Il vise un public essentiellement d'utilisateurs de la notion. J'y vois en majorité la définition par la dérivée, les exemples et une description de deux ou trois lignes sur la dimension 3 (orthodromie et loxodromie me parait le calcul le plus fréquent avec la vis d'Archimède. On peut y laisser la partie Jordan, la définition est fréquemment donnée et les démonstrations intéresseront les élèves du premier cycle universitaire.

OK grosso modo

Le troisième article traite de la géométrie différentielle. Il est peut être à fusionner avec calcul des variations car cette technique de calcul d'une longueur porte ce nom. Un petit paragraphe devrait rester dans l'article de cette page de discussion.

la plus tout à fait d'accord : il y a la notion de longueur de courbe tracée sur une surface, puis de courbe dans une variété riemannienne. Le calcul des variations s'occupe notamment des extremales de la longueur, c'est un autre sujet, intimement lié certes.

Le quatrième article pourrait s'appeler Contenu de Minkowski. Il faudrait alors l'enrichir du cas de la dimension quelconque. Jean-Luc W (d) 14 novembre 2008 à 12:23 (CET) Avant de parler du Contenu de Minkowski ne faudrait-il pas de parler de l'aire toute bête des surfaces de l'espace de dim 3. Cette question fondamentale a scandaleusement disparu du premier cycle universitaire. Jaclaf (d) 18 novembre 2008 à 12:21 (CET)

Il est toujours plus facile d'être malin à deux que seul. Merci, Jaclaf. Ton argument sur le troisième article me semble imparable, comment vois-tu le découpage ? Pour le quatrième article, tu as tout à fait raison, il manque un article Aire d'une surface.

je vais y réfléchir. Ce n'est pas si facile (on ne peut plus motiver par les polyèdres inscrits, le résultat est faux !) et la formule intégrale n'est pas très naturelle.

En revanche, cela ne nous avance pas sur la manière de traiter le Contenu de Minkowski.Jean-Luc W (d) 18 novembre 2008 à 12:34 (CET) on peut se donner un principe : terminer chaque article par une allusion à l'article + dur. Ainsi, les voisinages tubulaires pour Contenu de Minkowski concernant ce dernier si tu tapes Minkowski content sur ton moteur favori, tu verras qu'il y a des articles de recherche récents sur le sujet. C'est peut-être le + intéressant de tous ces articles commencés ou à écrire, mais est-ce le plus prioritaire ? Amicalement Jaclaf (d) 18 novembre 2008 à 16:21 (CET)

Erreur dans une figure

Bonjour,

je crois que la 1ere figure de la partie "arc de classe C1" est fausse. La zone jaune correspond a l'integrale de la fonction f et non a la distance parcourue. Pour obtenir la distance de la courbe il faut reparametrer le probleme pour sortir de la formulation y=f(x) et calculer l'integrale de la norme de la derivee. Ce qui donne L=integrale de sqrt(1+f'(t)^2)

Desole j'ai pas le temps de corriger ca tout de suite.

--Toukip (d) 18 novembre 2010 à 16:33 (CET)

L'arc dont cet intégrale est la longueur n'est pas le graphe de f, c'est dit en légende de la figure et dans le texte à côté : f est la fonction qui à chaque instant associe le module de la vitesse. Anne Bauval (d) 18 novembre 2010 à 23:58 (CET)

Cette figure est en effet très peu claire notamment parce-qu’on associe généralement f avec le nom de l'arc dont on veut calculer la longeur : c'est le cas dans la majorité de cette article notamment dans le même point deux paragraphes plus haut avec "la ligne d'équation y = f(t)" et lorsque au debut du point suivant on dit "Un arc paramétré de classe Cp est un couple (I, f)".

Je pense qu'il faudrait donc modifier cette notation (à moins qu'elle soit historique et auquel cas le préciser), on pourrait par exemple utiliser v pour noter la vitesse curviligne --RaphaelBonaque (d) 23 août 2011 à 22:06 (CEST)

Arc C^p italique ?

Est-ce que cette expression existe vraiment ? Ou est-ce comme je le soupçonne une simple traduction du fait que Berger et Gostiaux utilisent une notation italique pour désigner les arcs géométriques (je n'ai pas le bouquin, donc ne peux infirmer ou confirmer ce soupçon) ? Je suggère la distinction arc géométrique/ arc paramétré, qui me semble usuelle. Cordialement, Gouffy (d) 7 juin 2011 à 10:59 (CEST)

cette expression est bizarre en effet. Et en tous cas Berger-Gostiaux parle (c'est la terminologie classique) d'arc paramatrés équivalents, un arc géométrique étant uen classe d'équivalence d'arcs parmamétrés. Merci, Gouffy, d'avoir relevé cette coquilleJaclaf (d) 7 juin 2011 à 11:29 (CEST)