Discussion:Lemme du tube

Compacts et fermés, axiome du choix?

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J'atterris ici venant de la page sur les espaces compacts, où je suis allé pour trouver la démonstration de compact => fermé. J'ai eu l'impression au milieu de cette démonstration on utilisait implicitement l'axiome du choix. J'ai aussi eu l'impression qu'en formulant autrement, on pouvait facilement s'en passer.

Bon, je m'explique. Le passage où ça me semble utiliser l'axiome du choix, c'est :

Pour chaque point a de A, il existe alors un ouvert $O_{a}$ contenant a et un ouvert $B_{a}$ contenant b tel que leurs intersection est vide, car l'espace est séparé. L'ensemble des $O_{a}$...

Si au lieu de choisir un $O_{a}$ pour chaque a on décide de prendre démocratiquement, pour chaque a, tous les $O_{a}$, il me semble que le reste de la démonstration fonctionne à l'identique. Ça peut sembler moins économe, puisqu'on s'encombre de beaucoup de $O_{a}$, mais on économise aussi de devoir choisir et aussi l'axiome qui permet de faire ce choix.

Je dis des bêtises?

David Olivier 6 janvier 2007 à 00:34

Bonjour David Olivier, je suis bien d'accord, mais je crains qu'aucun auteur (même Bourbaki, Topologie générale, p. I.61) ne prenne cette peine, or ce n'est pas à nous d'innover. Anne (discuter) 11 décembre 2016 à 03:43 (CET)