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En mathématiques, le lemme du tube est le résultat de topologie générale suivant[1],[2] :

Si x est un point d'un espace topologique X et si Y est un espace quasi-compact, tout ouvert de X × Y contenant la partie {x} × Y contient un ouvert élémentaire U × Y contenant cette partie.

Il permet par exemple de démontrer simplement que tout produit fini de compacts est compact, sans recourir au théorème de Tychonov.

RemarquesModifier

Application aux produits finis de compactsModifier

Le lemme du tube permet de montrer que le produit de deux espaces quasi-compacts est quasi-compact[1],[4]. Par récurrence, tout produit fini d'espaces quasi-compacts est donc quasi-compact, si bien que tout produit fini d'espaces compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés) est compact.

Ce cas particulier du théorème de Tychonov est ainsi bien plus élémentaire que le cas d'un produit infini[5].

GénéralisationModifier

La preuve[4] de la généralisation suivante[6] est à peine plus compliquée que la preuve directe[1] du lemme du tube.

Si A est une partie quasi-compacte d'un espace X et B une partie quasi-compacte d'un espace Y, tout ouvert contenant la partie A × B contient un ouvert élémentaire U × V contenant cette partie.

Elle permet de montrer[4] que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

Notes et référencesModifier

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tube lemma » (voir la liste des auteurs).
  1. a b et c (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, , 2e éd. (lire en ligne), p. 167-168.
  2. (en) Joseph Rotman (en), An Introduction to Algebraic Topology, Springer, coll. « GTM » (no 119), (ISBN 978-0-387-96678-6, lire en ligne), p. 189-190, Lemma 8.9’.
  3. Munkres 2000, p. 168-169.
  4. a b et c Voir l'exercice corrigé sur Wikiversité (lien ci-contre).
  5. Munkres 2000, p. 169.
  6. Souvent proposée à titre d'exercice, comme dans Munkres 2000, p. 171.