Discussion:Identité de Lagrange

Démonstration de la version algébrique

Quand je m'occupais de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, j'avais réécrit ce paragraphe anglophone à ma façon. Ce n'est pas sourcé mais je trouve ça bien plus lisible. Est-ce recyclable ici ? Anne Bauval (d) 3 juin 2011 à 21:16 (CEST)

${\begin{aligned}2\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}+\sum _{1\leq j<i\leq n}(a_{j}b_{i}-a_{i}b_{j})^{2}\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right)+\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)-2\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\right)\\&=2\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-2\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2},\end{aligned}}$

ce qui (en divisant par 2) démontre l'identité de Lagrange dans l'anneau de polynômes sur $\mathbb {Z}$ d'indéterminées $a_{k},b_{k}~(1\leq k\leq n)$ et par conséquent dans tout anneau commutatif.

Oui, c'est mieux. Bon, c'est un TI, mais je pense que renvoyer à la démo du Net suffira :-) Je recycle aussitôt--Dfeldmann (d) 5 juin 2011 à 13:28 (CEST)