Discussion:Histoire des logarithmes et des exponentielles

log discret

Pour moi la question du logarithme discret est suffisamment éloignée pour ne pas être traitée dans cet article historique. Proz (d) 7 mai 2012 à 23:13 (CEST)

tu confirmes mes doutes : j'avais fait figurer cette section par acquis de conscience. On peut donc la supprimer pour l'instant. N'hésitez pas à intervenir tout de suite sur l'article, je l'ai ouvert avant d'avoir fini de consulter tous les livres pour permettre à tous de participer à la rédaction. HB (d) 8 mai 2012 à 15:33 (CEST)

Fin de rédaction

L'article est fini. Il est perfectible. Je compte sur vous pour relire, éclaircir, reformuler, réorganiser, élaguer. HB (d) 15 juin 2012 à 12:14 (CEST)

Autres langues?

Pourquoi cet article est disponible en français seulement ? C'est très intéressant et j'espère le voir écrit dans d'autres langues . — Le message qui précède, non signé, a été déposé par l'IP 41.102.74.119 (discuter), le 16 mars 2014 à 13:17

Parce que les autres langues n'y ont pas pensé et que, personnellement, je ne les parle pas suffisamment pour y créer des articles. Mais merci pour le compliment. HB (discuter) 17 mars 2014 à 09:13 (CET)

Précurseurs

Entre Archimède et Stiffel, ne faudrait-il pas citer Nicolas Oresme et/ou Nicolas Chuquet, et leur domestication des puissances non-entières ??

Lf69100 (discuter) 12 juin 2014 à 17:06 (CEST)

Ces deux noms n'ont pas été cités car ils ne figuraient pas dans mes sources comme notables. Concernant Oresme, je trouve, en cherchant d'autres sources, deux sons de cloche : dans cet article, note 39, il est bien précisé qu'Oresme ne pense pas en terme d'exposant mais de découpage d'un rapport en n rapports constants, (a:b) = (a:c)ⁿ, dont on prend m parties (a:d) = (a:c)^m, donc en terme d'addition. Le fait qu'il cotoie la notion sans le savoir et sans l'exploiter en fait-il un précurseur ? Oui, selon Alain Costé (voir ici), non selon les auteurs de Histoire des logarithmes qui ne l'évoquent même pas. Donc pour lui j'hésite. Concernant Chuquet, je ne pense pas qu'il ait travaillé sur des exposant rationnels. Il travaille sur des suites géométriques mais il ne cherche pas à combler des trous. Il s'intéresse aux exposants entiers, positifs ou négatifs, dans le but de résoudre des équations algébriques (histoire des logarithmes p. 14-16). mettant en place des règles sur les exposants que l'on trouve d'ailleurs déjà chez le mathématiciens arabe du XIe Al-Karaji dans son al Fakhri dont les écrits sont déjà parvenus en occident depuis Fibonacci. HB (discuter) 15 juin 2014 à 16:19 (CEST)

Logarithmus dualis

K.J. Dean a observé que le logarithme à base 2 (ld/lb/log2) est calculable bit à bit, directement, de façon purement arithmétique, par des carrages successifs. De ce fait, ce logarithme sans mystère devient fondamental, et les autres deviennent des formes auxiliaires traditionnelles.

Lf69100 (discuter) 12 juin 2014 à 17:22 (CEST)

Cette remarque me semble avoir davantage sa place dans l'article sur le logarithme binaire car cette observation très récente ne fait pas partie de l'histoire de la mise en place de la notion. Ceci-dit, même dans l'article logarithme binaire, il faudrait être plus clair sur la notion de calculabilité simple bit à bit par carrage(?). Si tu peux insérer la remarque dans l'article sur logarithme binaire avec la bonne source et en l'expliquant davantage, je serais avide de la lire. HB (discuter) 15 juin 2014 à 16:26 (CEST)

La démarche d'Euler

J'ai beau lire Euler, je ne comprends pas bien le contenu cette boîte déroulante :

$\ln(\cos(t)+\mathrm {i} \sin(t))=y\Leftrightarrow \cos t+i\sin t={\rm {e}}^{y}=\lim _{n\mapsto \infty }\left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}$ $\cos t+\mathrm {i} \sin t=\left(1+{\frac {y_{n}}{n}}\right)^{n}\Leftrightarrow y_{n}=n\left(\cos \left({\frac {t+2k\pi }{n}}\right)-1\right)+{\rm {i}}n\sin \left({\frac {t+2k\pi }{n}}\right)$ $\cos t+\mathrm {i} \sin t=\lim \left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}\Leftrightarrow y=\lim y_{n}={\rm {i}}(t+2k\pi )$

C'est ce $y_{n}$ qui me gêne. Anne, 24/1/2019, 2 h 47

? Ben si (bon, à des questions d'univocité du ln près) : on définit y_n dans la deuxième ligne (en appliquant de Moivre), et on déduit facilement que y= lim y_n (quand n tend vers l'infini) en comparant la ligne 1 et la ligne 2. Non ?--Dfeldmann (discuter) 24 janvier 2019 à 03:51 (CET)

Je ne vois pas pourquoi $\lim \left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\left(1+{\frac {y_{n}}{n}}\right)^{n}\Leftrightarrow y=\lim y_{n}$, et d'ailleurs ce n'est pas comme ça qu'Euler semble raisonner. Il a plutôt l'air de dire (en résumé et en langage moderne, et sans que la première de ces deux implications soit non plus claire pour moi) :

${\begin{aligned}\lim \left(1+{\frac {\mathrm {i} t}{n}}\right)^{n}=\lim \left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}&\Rightarrow 1+{\frac {y}{n}}+o\left({\frac {1}{n}}\right)=\left(1+{\frac {\mathrm {i} t}{n}}\right)\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}+\mathrm {i} \sin {\frac {2k\pi }{n}}\right)\\&\Rightarrow y=\lim \left[n\left(\cos {\frac {2k\pi }{n}}-1\right)-t\sin {\frac {2k\pi }{n}}+\mathrm {i} t\cos {\frac {2k\pi }{n}}+\mathrm {i} n\sin {\frac {2k\pi }{n}}\right]=\mathrm {i} t+\mathrm {i} 2k\pi .\end{aligned}}$

Anne, 10 h 08

(conflit d'édition) Tu as raison Anne, en tentant d'expliquer la démarche d'Euler je me suis un peu (beaucoup ?) éloignée du texte source. Et j'ai volontairement mélangé plusieurs dems

• celle de la page 156 qui dit que y = ln(x) si x=(1+y/n)ⁿ pour n infiniment grand. Euler en conclut que y=lim n(x^1/n-1), x^1/n pouvant prendre n valeurs différentes
• celle de la page 165 où il remplace x par cos t + i sint (c'est le résultat de ma première égalité)
• ensuite, il cherche à écrire cost + i sint sous la forme d'un complexe à la puissance n et il écrit cost + i sint = (1+it/n)ⁿ en écrivant dont la vérité est suffisamment prouvée par ailleurs suivie d'une autre justification que je n'ai pas reprise, préférant la vérité suffisamment prouvée par ailleurs toujours de lui, mais plus compréhensible à mon avis, consistant à remarquer que pour tout n, cost + i sint = (cos(t/n) + i(sin(t/n))ⁿ et à faire tendre n vers l'infini. J'ai donc repris son idée en remplaçant t/n par (t+ 2kπ)/n , c'est ma deuxième ligne (et c'est là que c'est un peu malhonnête car je m'éloigne un peu trop de sa démarche)
• enfin il égalise les deux formes p. 166 (1+y/n)ⁿ = (1+it/n)ⁿ <=> 1+y/n=(1+ it/n) (cos (2kπ/n) + i sin (2kπ/n)), puis par passage à la limite arrive à y=i (t+2kπ)

il est bien possible que la qualification de démarche d'Euler pour cet exposé trop loin du textuel soit usurpée. L'exercice de rendre compréhensible un texte ancien peut conduire à le trahir. Si tu juges qu'il y a là trahison, supprime sans regret ou corrige sans vergogne. HB (discuter) 24 janvier 2019 à 10:12 (CET)

Dans la dernière étape, il dit bien que (1+y/n)ⁿ = (1+it/n)ⁿ <=> 1+y/n=(1+ it/n) (cos (2kπ/n) + i sin (2kπ/n)), mais il applique cela à un « nombre n infini ». Plus précisément, pour t donné, il a fixé y tel que $\lim \left(1+{\frac {\mathrm {i} t}{n}}\right)^{n}=\lim \left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}$ donc son « 1+y/n=(1+ it/n) (cos (2kπ/n) + i sin (2kπ/n) » n'est pas une vraie égalité (pas plus que, juste après, son « cos (2kπ/n) = 1 et sin (2kπ/n) = 2kπ/n »). C'est pour ça que j'ai ajouté un $o\left({\frac {1}{n}}\right)$ à gauche du signe =. Mais je n'ose pas remplacer une trahison par une autre, d'autant que techniquement, comme je l'ai dit, aucune des deux explications n'est claire pour moi. Anne, 11 h 09

Ce qui est douteux ne doit pas rester. Boite déroulante supprimée. HB, 14 h 08

« techniquement, aucune des deux explications n'est claire pour moi » mais quand même, la seconde est peut-être justifiable rigoureusement, tandis que la première était fausse. Anne, 14 h 43

Pour éclairer ton doute, en haut de la page 157, il écrit que $y=\lim n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)$. Or son $n\left(x^{\frac {1}{n}}-1\right)$ correspond à mon $y_{n}$. HB, 15 h 14

$\lim \left(1+{\frac {y}{n}}\right)^{n}=\left(1+{\frac {y_{n}}{n}}\right)^{n}{\cancel {\Rightarrow }}y=\lim y_{n}$ :

$y=\mathrm {i} t$ et $1+{\frac {y_{n}}{n}}=\exp \left(\mathrm {i} \,{\frac {t+2k_{n}\pi }{n}}\right)$,

avec $k_{n}\in \mathbb {Z}$ arbitraire si $n$ impair mais $k_{2m}=m$ ($\Rightarrow y_{2m}\sim -4m$). Anne, 17 h

Oui mais euh ... c'est pas ça que je voulais dire... euh...tu n'as pas le droit de faire varier k en fonction de n, ça n'est pas fair play...pour moi il existait n valeurs possibles pour les y_n (j'aurais du les noter y_n,k pour k variant de 0 à n-1... ) elles sont liées aux racine nième de x ... Mais je suis d'accord que ce n'est pas ce que je voulais dire qui importe mais ce que cela veut dire. Même dans le cadre d'un exposé aussi vague que «la démarche d'Euler» et non la démonstration d'Euler,

Je comptais vaguement que tu dises que cette boîte déroulante s'inspirait d'une analyse sourcée. Je n'ai pas réussi à trouver (sur internet) Jean-Luc Verley, « La controverse des logarithmes des nombres négatifs ou imaginaires ». Anne, 21 h 40

J'aurais du me faire autant confiance que tu me fais confiance....Je me souvenais avoir décortiqué le texte d'Euler et d'avoir trouvé Verley un peu succinct (il m'arrive parfois d'acheter des livres...). Je ne me souvenais plus que j'avais repris finalement l'analyse succincte de Verley ... en y ajoutant hélas l'imprécision que tu as signalée. Verley explique qu'Euler cherche à résoudre l'équation «approchée» (1+y/n)ⁿ = cos t + i sin t, fournit les n solutions (que Verley prend soin prend soin, lui, d'appeler y_n^(k)) puis fait tendre, à k fixé, n vers l'infini. Verley commente «la manière dont Euler manipule ici les infiniment petits et les infiniment grands est tout à fait caractéristique des débuts du calcul infinitésimal et très déconcertante pour le lecteur moderne habitué à la rigueur weierstrassienne»

Autant d'octet en page de discussion pour ma mauvaise transcription d'une analyse elle même lointaine d'un texte où les concepts de limites sont malmenés. J'ai un peu honte...HB (discuter) 25 janvier 2019 à 07:53 (CET)

Bonjour ; l'analyse de Sandifer (How Euler did it) me semble assez complète et éclairante (y compris sur la rigueur ou son absence) ; y avez-vous jeté un œil?--Dfeldmann (discuter) 25 janvier 2019 à 09:00 (CET)

Oups, désolé, ce lien-là pointe vers la découverte de $e^{i\pi }+1=0$, ce qui ne correspond pas à l'approche de Verley. Voici l'index de l'archive, mais ils ne donnent pas les thèmes traités ; après une lecture attentive, il semble que Sandifer ne s'occupe de la formule d'Euler qu'en un seul endroit.--Dfeldmann (discuter) 25 janvier 2019 à 11:21 (CET)