Discussion:Diophantien

Quand on dit à coef entier, on parle de N ou de Z ? L'article n'est pas clair zorgi

On veut dire « à coefficient entier relatif ». En effet l'article est probablement inspiré d'une traduction de l'article en anglais où « integer » signifie « entier relatif. » Il est clair que du temps de Diophante « entier » signifiait « entier naturel », en revanche pour Hilbert, il s'agissait d'entiers relatifs. Pierre de Lyon 24 avril 2007 à 10:46 (CEST)

Je propose de renommer l'article en ensemble diophantien qui me semble être clairement le sujet de l'article (et correspond à l'interwiki en:). Proz (d) 24 avril 2009 à 21:28 (CEST)

Pas d'objection. Theon (d) 25 avril 2009 à 15:18 (CEST)

Il y a une erreur dans le paragraphe suivant ...

Il y a une erreur dans le paragraphe suivant ... Ainsi, en 1976, Jones a-t-il explicité un polynôme de degré 25 et des 26 variables a, b, ..., z, dont l'ensemble des valeurs positives coïncide avec l'ensemble des nombres premiers. Le voici :

   (k+2)[1 – (wz+h+j–q)2 – [(gk+2g+k+1)(h+j) + h – z]2
       – (2n+p+q+z–e)2 – [16(k+1)3(k+2)(n+1)2 + 1 – f2]2
       – [e3(e+2)(a+1)2 + 1 – o2]2 – [(a2–1)y2 + 1 – x2]2
       – [16r2y4(a2–1) + 1 – u2]2
       – [((a+u2(u2–a))2–1)(n+4dy)2 + 1 – (x+cu)2]2 – [n+l+v–y]2
       – [(a2–1)l2 + 1 – m2]2 – [ai+k+1–l–i]2
       – [p + l(a–n–1) + b(2an+2a–n2–2n–2) – m]2
       – [q+ y(a–p–1) + s(2ap + 2a – p2 – 2p – 2) – x]2
       – [z + pl(a–p) + t(2ap – p2 – 1) – pm]2]

Ceci ne peut pas être exact, car le polynome explicité ci-dessus est le produit de (k+2) avec un autre polynome diophantien, appelons-le W. Or le produit de deux nombres entiers (différents de -1, 0 ou 1) ne peut pas être premier. D'autre part, il semble que les variables a, b, ..., z sont des éléments de N (l'ensemble des entiers naturels) et non de Z (les entiers relatifs). Premièrement, il faudrait préciser dans le sujet (ceci a déjà été mentionné dans un autre commentaire), deuxièmement, le polynome tel qu'il est écrit ci-dessus ne fournit que des entiers négatifs. En effet, (k+2) est positif, et W est de la forme 1-nombres au carrés et ne peut être que négatif. Le produit est négatif. Donc l'ensemble des valeurs positives est vide !!! Pour information : j'ai repéré l'erreur dans le dossier de la revue "Pour la Science" de janvier 2012, est-il possible qu'ils aient pris leurs informations sur wikipédia ?

Je ne suis pas mathématicien, et je ne connais pas la formule exacte, je ne peux donc corriger moi-même le texte initial. --77.197.210.176 (d) 21 janvier 2012 à 15:03 (CET)

En fait ce que l'on démontre d'abord, c'est que il existe x,y, z... tel que P(k,x,y,z ...) = 0 ssi k + 2 est premier. Sinon P est positif (sinon on élève au carré). Ce sont donc les valeurs positives du polynôme (k+2)[1 - P]. Si ce produit est strictement positif le second facteur est 1, et ce que vous avez repéré n'est pas une erreur. Proz (d) 21 janvier 2012 à 16:00 (CET)

Merci d'avoir signalé le détail manquant (j'ai rajouté dans l'article que les variables sont des entiers naturels), mais pour l'objection principale : non, il n'y a pas d'erreur. Les valeurs positives sont celles de la forme (k+2)(1-0²-…-0²) et les expressions qui sont au carré sont justement choisies pour que k+2 soit premier si et seulement s'il existe des entiers naturels a,…,j,l,…,z pour lesquels ces expressions s'annulent toutes.

@Dfeldman : peut-être qu'il faudrait le détailler, ici ou dans un autre article, avec un lien d'ici vers là-bas ?

Anne Bauval (d) 21 janvier 2012 à 16:03 (CET)

Je viens de repérer que l'explication est dans l'article. C'est à améliorer. Proz (d) 21 janvier 2012 à 16:28 (CET)

Pardon à Proz, à Theon, et à tous ceux que j'oublie ; ma question n'aurait pas dû être nominative (c'est Dfeldman qui me venait à l'esprit parce qu'on a eu récemment un bref échange dans Formules pour les nombres premiers). Je suis d'accord que c'est expliqué mais à améliorer. Anne Bauval (d) 21 janvier 2012 à 17:28 (CET)

Modifié depuis. Proz (d) 21 janvier 2012 à 17:59 (CET)

« Simple », « aisé », « évident »

Le dixième problème de Hilbert n'est pas considéré comme un problème facile. Je trouve donc déplacé d'écrire « une astuce simple », « on montre aisément », « évidemment diophantiennes ». D'ailleurs ce type d'adjectif ou d'adverbe est à proscrire dans tout article mathématique de Wikipédia, car il ne respecte pas nos lecteurs. D'autant plus que ces tournures cachent souvent l'absence ou l'impossibilité d'une explication courte et compréhensible. --Pierre de Lyon (discuter) 14 juin 2017 à 14:34

Je ne suis pas du tout d'accord avec ce principe. De façon générale, ce n'est pas manquer de respect mais au contraire faciliter la lecture que de différencier clairement les assertions élémentaires de celles difficiles. Les meilleurs auteurs le font. C'est peut-être mal fait dans d'autres articles mais c'est fait de façon impeccable dans celui-ci, où les deux premières expressions que tu dénonces sont suivies chacune d'une courte démonstration qui les justifie, et la troisième maintient le lecteur en éveil en lui proposant une réflexion qu'on lui garantit extrêmement courte (ou sinon, salutaire). Les trois contrastent très justement avec « La réciproque est extrêmement délicate et constitue le nœud du théorème de Matiyasevich ». Anne 14/6/17 16 h 42