Discussion:Constructivisme (mathématiques)

Cardinalité

La section Cardinalite me paraît complètement foireuse.

Premièrement, dire que l'argument de Cantor est constructif est assez abusif. Cantor choisit d'abord une bijection entre les entiers et les réels avant de commencer sa dite construction. Or, cette bijection n'est pas construite puisque la question est même de savoir si elle existe. C'est un peu comme si je disais que j'ai "réellement construit" un téléporteur mobile en supposant d'abord que mon frigo est un téléporteur, et en lui rajoutant des roulettes. Compte tenu de ma supposition initiale, mon invention est "réellement constructive", si l'on suit l'argumentation donnée dans l'article.

En réalité, Cantor utilise justement un argument fondamentalement non-constructif puisqu'il démontre par l'absurde que N n'est pas isomorphe à R.

Deuxièmement, le dernier paragraphe est aberrant. Dire que l'ensemble des réels est "au plus dénombrable" sous prétexte qu'il y a une fonction partielle entre les entiers et les réels est vraiment une archi-grossière erreur. Il existe des fonctions partielles entre n'importe quelle pair d'ensemble, cela ne donne aucune information sur la cardinalité. Si la fonction T dont il est question dans l'article était injective ou bien surjective, on pourrait dire quelque chose à ce sujet, mais ce n'est pas le cas.

En conséquence de quoi je suggère que cette section soit tout bonnement supprimée. Je la supprimerai si personne ne répond à ce commentaire.

Il y a sûrement besoin d'un nettoyage, mais il est parfaitement exact (et bien connu) que le raisonnement diagonal est constructif, au sens où étant donné une énumération de réels, on construit bien un réel qui n'est pas dans l'énumération. Historiquement c'est bien ainsi que Cantor rédige son argument. Si l'énumération est calculable, le réel l'est. C'est en gros l'argument derrière l'indécidabilité du problème de l'arrêt, et l'argument diagonal est essentiel en théorie de la calculabilité. Par raisonnement diagonal, on montre bien que l'on peut construire (au sens de façon calculable) par exemple un réel non algébrique (même si ça doit être "pénible").

Pour la seconde partie, je comprends d'après le contexte qu'il s'agit des réels calculables, et que la fonction partielle en question est alors surjective, il s'agit de la classique énumération des fonctions récursives partielles. Disons que ça n'est pas clair, que l'on ne sait pas trop d'où sort ce paragraphe, mais aberrant non.

L'article est une traduction de l'encyclopédie anglaise, les références y sont différentes ... Je ne sais pas trop si ce paragraphe doit être réformé ou supprimé, mais ça me semble plutôt une question de pertinence. Proz (d) 7 novembre 2008 à 22:49 (CET)

Supprimé finalement : peu compréhensible, pas de réaction depuis. Proz (d) 26 septembre 2011 à 00:41 (CEST)

Intro

Je ne pense pas que le constructivisme soit aussi "une branche des mathématiques orientée vers les objets mathématiques constructibles". Proz (d) 25 septembre 2011 à 00:31 (CEST)

J'ai usé de cette expression pour distinguer le fait de travailler dans ce domaine et le fait d'avoir comme philo perso que les maths doivent être de ce type. Ceci de la même manière que l'on peut faire des travaux en logique intuitionniste sans considérer à titre personnel que les mathématiques n'ont pas à user du tiers exclu. Maintenant cette mienne phrase est p.-e. malheureuse et un autre mot/ une autre expression est p.-e. plus à même de désigner la "branche des mathématiques orientée vers les objets mathématiques constructibles". --Epsilon0 ε₀ 25 septembre 2011 à 00:43 (CEST)

Je suis d'accord avec toi qu'il faut distinguer, mais il ne me semble pas que les 2 choses portent le même nom. Les mathématiques constructives se distinguent du constructivisme en math.. Et d'ailleurs intuitionnisme et logique intuitionniste sont sans nul doute deux choses différentes (malgré ce que prétend wikipedia). Remarque : de plus on peut proposer des démonstrations constructives hors du cadre des math. constructives. Proz (d) 25 septembre 2011 à 01:00 (CEST)

Je suis d'accord, il nous manque donc un article mathématiques constructives ... que d'ailleurs voyant qu'il manquait et ne sachant trop quoi faire j'ai, ce jour, créé pour le rediriger vers ici. Il y a sans doute mieux à faire. --Epsilon0 ε₀ 25 septembre 2011 à 01:14 (CEST)

Position de Brouwer

Le passage suivant a été supprimé :

Brouwer envisageait son approche philosophique des mathématiques de manière disjointe de son travail de mathématicien, ainsi n'a t-il pas cherché à axiomatiser la logique intuitionniste (travail effectué par Heyting )

Le mot "disjoint" est p.-e. un peu fort, mais sur le fond en quoi est-ce "inexact" ? Est-ce nécessaire que je retrouve où j'ai lu (je crois chez Largeault) que Brouwer a accueilli avec froideur l'axiomatisation de Heyting, ou le désaccord sur cette phrase de l'article est autre ? --Epsilon0 ε₀ 25 septembre 2011 à 01:11 (CEST)

Ceci me semble aussi juste (de mémoire) mais je ne vois pas pourquoi cela indiquerait que Brouwer "envisageait son approche philosophique des mathématiques de manière disjointe de son travail de mathématicien" (plutôt qu'il ne pensait pas qu'une formalisation logique soit utile ?). Pour le reste il a travaillé en math. avant d'avoir entièrement construit sa doctrine. Proz (d) 25 septembre 2011 à 01:23 (CEST)

Ok, tout développement nécessite soit de savoir précisément ce que Brouwer avait en tête (chose en gros impossible ou frôlant le TI), soit d'ajouter précisément en note qqch comme "selon X [ex:Largeault], tel book, tel page, ...". Mais je crains un peu qu'à ce niveau de rigueur, que je ne désapprouve pas, il soit un peu difficile de dvper les articles au delà des simples définitions ou thms consensuels. --Epsilon0 ε₀ 25 septembre 2011 à 01:40 (CEST)

Déjà Brouwer s'est pas mal exprimé, Van Dalen a écrit une biographie extrêmement détaillée (en deux tomes, j'ai pu il y a quelques temps parcourir le second) ... Aucun problème pour trouver des sources pour développer. A mon avis il est assez facile de constater que "Brouwer envisageait son approche philosophique des mathématiques de manière disjointe de son travail de mathématicien" n'est pas dans la nature du personnage, et que c'est complètement faux, au moins en ce qui concerne son activité après la 1ère guerre mondiale. Proz (d) 25 septembre 2011 à 18:19 (CEST)

Tu sa p.-e. raison, je n'ai pas lu de biographie spécifique sur Brouwer. Maintenant ce serait p.-e. plutôt à mettre sur Luitzen Egbertus Jan Brouwer qui est vraiment une ébauche à recycler. --Epsilon0 ε₀ 25 septembre 2011 à 22:40 (CEST)

L'article sur Brouwer est hélas lamentable (même le peu qu'il y a). Tu trouves dans la réf. que j'ai ajoutée (Iemhof -- Stanford Encyclopedia) de quoi me semble-t-il confirmer et préciser que j'écris au dessus, et bien plus évidemment (par exemple, j'ai l'impression, de quoi réécrire proprement la première section). Le paragraphe "Attitude des mathématiciens" est à recycler. Proz (d) 26 septembre 2011 à 00:52 (CEST)

Phrase à expliciter

Je ne comprends pas à quoi précisément fait allusion la seconde partie de la phrase En particulier les résultats des mathématiques constructives sont également valides du point de vue des mathématiques classiques, alors que ce n'est pas forcément le cas pour les mathématiques intuitionnistes. Sachant qu'il est bien clair que A |-i B ==> A |-c B. --Epsilon0 ε₀ 26 septembre 2011 à 03:00 (CEST)

Il s'agit des mathématiques de Brouwer, j'ai explicité. Proz (d) 26 septembre 2011 à 23:33 (CEST)