Discussion:Constante de Legendre

La Vallée Poussin ou Rosser et Schoenfeld ?

L'article dit que c'est La Vallée Poussin qui a établi la valeur correcte de la constante de Legendre. L'article de la Wikipedia anglaise dit la même chose, mais il renvoie à l'article Legendre's Constant du site mathworld.wolfram, qui ne mentionne pas La Vallée Poussin et qui, au sujet de la valeur correcte de la constante de Legendre, renvoie à :
Rosser, J. B. and Schoenfeld, L. "Approximate Formulas for Some Functions of Prime Numbers." Ill. J. Math. 6, 64-94, 1962
et à
Panaitopol, L. "Several Approximations of ." Math. Ineq. Appl. 2, 317-324, 1999.
Je me demande donc si c'est vraiment La Vallée Poussin qui a déterminé la valeur exacte de la constante de Legendre. Marvoir (d) 15 juillet 2013 à 18:21 (CEST)

Le survey de Rosser & Schoenfeld renvoie à celui Ingham qui est très clair : c'est bien de La Vallée Poussin en 1899. Anne (d) 15 juillet 2013 à 21:14 (CEST)

C'est un peu plus compliqué que cela. Le nombre de Legendre est publié en 1830 dans sa théorie des nombres. Le propos est d'ailleurs un peu plus vague qu'une véritable conjecture. Legendre dit qu'il a constaté que la formule

${\frac {x}{\ln(x)-1.08366}}$ donne le nombre de nombre premiers plus petits que x "avec une précision très satisfaisante".

Entre 1849 et 1852, tchebyscheff, montre que, si la limite existe, alors elle vaut 1. Mais il ne réussit pas à montrer l'existence de la limite (ni celle de π(x) ln(x)/x qui doit également valoir 1 (th de tchebycheff) ).

De la Vallée Poussin et Hadamard, par des voies différentes, montrent le théorème des nombres premiers! limite (π(x) ln(x)/x)=1 en 1896 mais il faut attendre 1899 pour que De la Vallée Poussin montre que la limite A existe (et donc A=1 par Tchébycheff).

Cordialement dit, le Tigre à dents de sabre..Claudeh5 (d) 16 juillet 2013 à 00:52 (CEST)

Merci à Anne età Claudeh5 pour les références. Marvoir (d) 16 juillet 2013 à 07:40 (CEST)

Bizarre: on en déduit aisément le développement asymptotique $\pi (x)=x/\ln x+x/(\ln x)^{2}+o(x/(\ln x)^{2})$, non? Or je ne l'ai jamais vu mentionné nulle part...--Dfeldmann (d) 16 juillet 2013 à 11:27 (CEST)

Oups,désolé, c'est évidemment parce que Li(x), dont c'est le DA, est une bien meilleure approximation...--Dfeldmann (d) 16 juillet 2013 à 11:49 (CEST)