Discussion:Caractère d'un groupe compact
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Caractère d'un groupe ou d'une représentation ? modifier
Certains (Godement, Cartan, Bourbaki, Weyl, Dieudonné ...) considèrent que le caractère d'un groupe est un morphisme du groupe dans C*, c'est alors une notion associée à l'analyse harmonique (cf Théorie de la dualité et analyse harmonique dans les groupes abéliens localement compacts de Cartan et Godement ou L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications de Weyl ou encore Topologie générale de Bourbaki). Ces mathématiciens considèrent que les caractères d'une représentation correspondent à un autre concept, disposant d'autres propriétés.
Quels caractères sont traités dans cet article, ceux de Caractère (mathématiques) ou ceux de Théorie des caractères d'une représentation d'un groupe fini ? Jean-Luc W 20 mars 2007 à 02:11 (CET)
- Cet article traite des caractères associés aux représentations, qu'on appelle caractères du groupe. Ces caractères permettent de disposer d'une bonne description des fonctions centrales. Un tel caractère est un homomorphisme (continu) uniquement s'il est associé à une représentation de dimension (ou de rang) 1. Pour un groupe commutatif, tous les caractères irréductibles sont des homomorphismes continus. L'étude des groupes commutatifs se simplifie du fait que le produit de convolution est commutatif.
- La situation se complique dans le cas non commutatif. Un caractère défini comme un morphisme de groupes est un cas particulier d'un caractère défini comme trace d'une représentation irréductible de dimension finie. Si on se restreint aux fonctions centrales de carré intégrable, elles se décomposent sous la forme d'une série, de manière analogue aux séries de Fourier. On dispose d'une version de Plancherel, etc, etc, ... C'est d'ailleurs une extension : cet article va en parler. Voir aussi Fonction centrale.
- Remarque : Jean Dieudonné appelle caractère d'un groupe compact un caractère associé à une de ses représentations, comme c'est fait dans cet article. C'est aussi la terminologie employée par Fulton et Harris.
- Autre remarque : si des résultats sur des représentations des groupes compacts se spécialisent sur des groupes finis, l'étude pour les groupes finis est néanmoins différente car elle traite des représentations sur n'importe quel corps.
Ekto - Plastor 20 mars 2007 à 21:13 (CET)
