Discussion:Élément entier

Généralisation de l'exemple ℤ[√5] à ℤ[k√d] dans la section clôture intégrale

 Anne Bauval :
Bonjour,

Je suis l'auteur dans la section clôture intégrale de la généralisation de l'exemple ℤ[√5] d'un anneau non intégralement intégralement clos. Comme cet exemple était très incomplet (aucune mention de ℤ[√8] qui est pourtant plus simple), je l'avais généralisé à ℤ[√n] pour tout entier n.

Vous avez ensuite amélioré la mise en forme de ℤ[√n] à ℤ[k√d] et modifié la source (lien interne vers Entier quadratique#Entier quadratique).

Je viens de me rendre compte que votre modification étais plus générale que ℤ[√n] car vous avez mentionné k rationnel au lieu d'entier (relatif), l'extension n'est donc plus quadratique (en rappelant que ℤ[ω] désigne l'ensemble des nombres de la forme a₀ + a₁ω + a₂ω² + … + a_nωⁿ, où a₀, a₁, … , a_n sont des éléments de ℤ) et ne correspond plus à la référence Entier quadratique dont la caractérisation de la clôture intégrale n'est valable que pour un anneau formé d'entiers quadratiques.

Il faut donc remplacer « k rationnel » par « k entier » (on revient à une formulation équivalente mais plus claire de ce que j'avais écrit au départ avec ℤ[√n]).
J'en ai profité dans ma modification pour préciser « strictement positif » plutôt que « non nul », car le signe ne change rien (ℤ[-k√d] = ℤ[k√d]) et ajouter que d était différent de 1, car sinon ℤ[k√d] = ℤ, ce qui certes donne bien une clôture intégrale égale à ℤ[(1+√1)/2] mais c'est un peu lourd, et l'exemple de ℤ intégralement clos est mentionné dans un exemple précédent.

Il serait cependant intéressant d'en connaitre plus sur ℤ[r] ou ℤ[r√d] pour r rationnel, malheureusement je n'ai pu trouver aucune source sur le sujet sur internet.
À priori je dirais que la clôture intégrale de ℤ[r] avec r = p/q (fraction irréductible) est simplement ℤ[1/q] et celle de ℤ[r√d] = ℤ[p/q × √d] est quelque chose comme ℤ[(1+√d) / (2q)] ou ℤ[√d / q] selon que d soit congru ou non à 1 modulo 4. Bien sûr ce n'est que purement spéculatif, et tant qu'on n'a pas de source, cela reste du travail inédit. Edit : l'anneau ℤ[r√d] est égale à S^-1 ℤ[p√d] avec S = {qⁿ}_n∈ℕ, sa clôture intégrale mentionnée précédemment vient de l'application de l'exemple que vous aviez mentionné.

Si vous trouvez une source pour éclaircir ce dernier point sur ℤ[r√d] dans le cas où r est rationnel, on peut discuter de cette généralisation et l'inscrire comme exemple.
Sinon et si vous ne voyez pas d'objection à ce que j'ai dit par rapport à ma modification du 1 janvier, je vous laisse annuler votre annulation de cette modification (si vous pensez que c'est mieux, vous pouvez enlever mon ajout que d est différent de 1 puisque c'est en fait superflu).

P.S. Bonne année 2019 !
--MindcraftMax (discuter) 2 janvier 2019 à 01:55 (CET)

Edit : J'ai eu le temps de lire votre message d'hier mais pas d'y répondre. Effectivement je n'avais pas vu (ou cherché à comprendre) l'exemple en dessous qui indiquait que le passage aux anneaux de fraction commute avec la fermeture intégrale, ma spéculation sur la clôture intégrale de ℤ[r√d] était donc correcte.

J'ai vu cependant que vous aviez généralisé autrement l'exemple, merci pour votre contribution !
--MindcraftMax (discuter) 3 janvier 2019 à 01:55 (CET)

J'avais cru pouvoir justifier votre « spéculation sur la clôture intégrale de ℤ[r√d] » par la commutation entre clôture intégrale et localisation mais il me manquait un bout du raisonnement, c'est pourquoi j'avais effacé mon dernier message. Aujourd'hui ça va un peu mieux, mais pas tout à fait :

La clôture intégrale de ℤ[r√d] contient √d donc est égale à celle de ℤ[√d/q].

Je sais à présent (mais c'est un WP:TI) démontrer que « ℤ[√d/q] = S^-1 ℤ[√d] avec S = {qⁿ}_n∈ℕ », c'est-à-dire ℤ[√d/q] = ℤ[√d, 1/q], autrement dit :

• je sais prouver que ${\frac {1}{q}}\in \mathbb {Z} \left[{\frac {\sqrt {d}}{q}}\right]$.

Donc la clôture intégrale de ℤ[r√d] est ℤ[ω, 1/q], avec ω = (1 + √d) / 2 ou √d selon que d est congru ou non à 1 modulo 4.

Cependant, dans le cas d ≡ 1 mod 4, si de plus (d – 1)/4 n'est pas premier avec q,

• je ne crois pas que ℤ[ω, 1/q] = ℤ[ω/q], c'est-à-dire 1/q ∈ ℤ[ω/q].

Par exemple :

• je crois que ${\frac {1}{3}}\notin \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {13}}}{6}}\right]$.

Anne, 3/1, 13 h 32

En revanche, pour k suffisamment grand, (d – 1)/(4q^k) s'écrit comme une fraction irréductible de dénominateur divisible par q, et l'on a alors ℤ[ω, 1/q] = ℤ[ω/q^k]. Anne, 4/1, 19 h